Адам Кучарски

Идеальная ставка

Моим родителям

Удача – это случайность, которую вы принимаете на свой счет. Чип Денман

Предисловие

В 2009 году в британские газеты попала история Эллиота Шота – бывшего финансового трейдера, выигравшего на скачках более 20 миллионов фунтов. У Шота был «мерседес» с личным шофером, офис в Найтбридже – одном из фешенебельных лондонских районов, его знали как завсегдатая лучших городских клубов. Шот, говорилось в статье, использовал простую стратегию: всегда ставил против фаворита. Поскольку лошадь с наибольшими шансами на победу приходит первой далеко не всегда, такой метод способен принести большие деньги. Благодаря своей системе Шоту удалось дважды сорвать немалый куш – полтора миллиона фунтов во время скачек на Челтнемском фестивале и три миллиона на Королевских скачках в Аскоте.

В этой истории была лишь одна маленькая загвоздка – все от начала и до конца оказалось враньем. Ни в Аскоте, ни в Челтнеме Шот ничего не выиграл. Убедив инвесторов вложить в его систему ставок десятки тысяч фунтов, бо́льшую часть денег он потратил на клубы и развлечения. В конце концов у инвесторов возникли вопросы, и Шота арестовали. В 2013 году он был признан виновным в мошенничестве по девяти статьям и приговорен к пяти годам лишения свободы.

Может показаться удивительным, как Шоту удалось обдурить столько народу, но легенда об идеальной ставке и вправду ужасно привлекательна. Истории о баснословных выигрышах как будто опровергают расхожее мнение, согласно которому «казино всегда выигрывает». Они как бы намекают: в системе азартных игр всегда есть лазейки, надо лишь суметь их найти. Можно склонить слепой случай на свою сторону и обуздать фортуну при помощи формулы. Этот миф настолько соблазнителен, что человечество с момента зарождения азартных игр пытается обмануть систему. Однако поиск идеальной ставки занимает умы не одних картежников и любителей рулетки. Азартные игры постепенно заставили все человечество переосмыслить само понятие удачи.

Как только в парижских казино XVIII века появились первые рулетки, игроки принялись разрабатывать системы ставок. Большинство из них отличались завлекательными названиями и крайне низким коэффициентом результативности. Одна из таких систем именовалась мартингейл. Основывалась она на тактике, апробированной в игорных барах, и, по слухам, была абсолютно безопасной. Слава мартингейла быстро росла, и он стал пользоваться у игроков невероятной популярностью.

Ставить надо было на красное или черное, однако цвет, в сущности, значения не имел – все дело было в размере ставки. Ее следовало не повторять, а удваивать после каждого проигрыша. Когда в конце концов игроку выпадал нужный цвет, он мог вернуть все, что проиграл ранее, а заодно получить прибыль в размере первоначальной ставки. На первый взгляд система казалась безупречной, однако имела большой недостаток: иногда ставки приходилось повышать так, что они становились неподъемными не только для игрока, но и для казино. Следуя системе мартингейла, вы могли получить небольшую прибыль на начальном этапе, но в долгосрочной перспективе возникала проблема платежеспособности, мешавшая осуществлению стратегии. Несмотря на популярность мартингейла, выгодным предприятием его применение назвать было нельзя – слишком велики были затраты. «Мартингейл неуловим, как сама душа», – утверждал Александр Дюма.

Причина, по которой эта стратегия привлекала (и продолжает привлекать) игроков – ее математическая безупречность. Сравните сумму, которую вы поставите, и сумму, которую сможете получить, – вот вам и выигрыш! В этих расчетах есть лишь один изъян: они не выдерживают столкновения с реальностью. На бумаге мартингейл работает хорошо, но на практике от него пользы нет.

Чтобы добиться успеха в азартных играх, чрезвычайно важно владеть теорией. Но как быть, если теорию еще не разработали? Живший в эпоху Ренессанса математик Джероламо Кардано был заядлым игроком и, промотав наследство, решил заработать на своем увлечении. Но для этого ему необходимо было научиться высчитывать вероятность случайных событий.

Во времена Кардано понятия вероятности в современном его понимании не существовало. Не было формул, описывающих случайные события, не было законов, предсказывающих вероятность того или иного явления. Если кому-то выпадало в кости две шестерки, считалось, что человеку просто повезло. Во многих играх размер «правильной» ставки оставался неизвестным.

Кардано был одним из первых, кто заметил, что азартные игры поддаются математическому анализу. Он осознал, что, лавируя в мире случайностей, можно нащупать его границы. А значит, можно исследовать совокупность возможных результатов и выделить наиболее важные. Игральные кубики могут выпадать в тридцати шести различных комбинациях, однако лишь в одной из них выходят две шестерки. Кардано научился управляться с множеством случайных событий и вывел «формулу Кардано» для расчета шансов на выигрыш в повторяющихся играх.

Интеллект был не единственным оружием Кардано за игровым столом. При себе он всегда имел кинжал и не стеснялся пускать его в дело. В 1525 году в Венеции математик обнаружил, что его соперник за карточным столом жульничает. «Когда я увидел, что у него крапленые карты, я в гневе порезал ему лицо кинжалом, – вспоминал Кардано, – хотя и не очень глубоко».

Позже и другие ученые пробовали проникнуть в тайну теории вероятности. Галилей по заданию благородных семейств Италии пытался выяснить, почему в костях одни комбинации выпадают чаще, чем другие. Астроном Иоганн Кеплер на время отвлекся от изучения движения планет, чтобы написать небольшую работу по теории этой игры.

Но по-настоящему наука об удаче расцвела в 1654 году, когда проблемой занялся французский писатель Антуан Гомбо. Ему не давал покоя вопрос: что более вероятно – выпадение шестерки в четыре броска одним кубиком или выпадение двух шестерок при 24 бросках двумя кубиками? Гомбо считал, что вероятность одинакова, но доказать этого не мог. Тогда он обратился за советом к своему другу, математику Блезу Паскалю.

К разгадыванию тайны выпадающих шестерок Паскаль привлек Пьера де Ферма, своего коллегу-математика и состоятельного адвоката. Взяв за основу работу Кардано о случайности, вместе они сформулировали основы теории вероятности. Впоследствии большая часть выдвинутых исследователями концепций заняла центральное место в математической теории. Помимо прочего, Паскаль и Ферма вывели для игры «ожидаемое значение» – параметр, измерявший вероятность выигрыша при множестве партий. Их исследования показали, что Гомбо ошибался: шансов выпадения шестерки при четырех бросках одним кубиком больше, чем двух шестерок при 24 бросках двумя кубиками. Но все же именно благодаря Гомбо математика получила совершенно новое научное направление. По мнению Ричарда Эпштейна, «любители азартных игр могут по праву назвать себя крестными отцами теории вероятности».

Изучение азартных игр позволило ученым не только понять, стоит ли игра свеч в чисто математическом смысле слова, но и пролить свет на то, чем мы руководствуемся, принимая решения в повседневной жизни. В XVIII веке Даниил Бернулли задумался, почему люди чаще предпочитают делать небольшие ставки, а не ставки покрупнее, теоретически способные принести бо́льшую выгоду. Если основным двигателем финансового выбора является не ожидаемая прибыль, то что?

Бернулли нашел ответ, осмыслив проблему не с точки зрения ожидаемого вознаграждения, а с позиции так называемой «ожидаемой целесообразности». Он предположил, что одно и то же количество денег имеет бо́льшую или меньшую ценность в зависимости от того, сколько денег имеется у человека. Например, для бедного человека одна монета гораздо ценнее, чем для богатого. Как заметил еще один ученый-математик Габриэль Крамер, «математики оценивают деньги соразмерно их количеству, здравомыслящие люди – соразмерно возможности их использования».

Это было чрезвычайно важное открытие. Концепция целесообразности лежит в основе всей индустрии страхования. Большинство людей предпочитают вносить регулярные установленные взносы, чем не платить ничего, рискуя однажды получить огромный счет, даже если платить понемногу выйдет дороже. Купите вы страховку или откажетесь от нее, зависит от целесообразности. Люди не склонны страховать то, что в случае утраты будет легко заменить.

В последующих главах мы рассмотрим, как азартные игры оказывали влияние на разные области науки – от теории игр и статистики до теории хаоса и технологий по разработке искусственного интеллекта. Наверное, нам не стоит удивляться тому, как тесно связаны между собой наука и азартные игры. В конце концов, азарт открывает для нас окно в мир возможностей. Игры учат, как найти равновесие между риском и ожидаемым вознаграждением и объясняют, почему в разных обстоятельствах мы придаем определенным вещам разное значение. Они помогают понять, как наш мозг принимает решения и как мы можем управлять своей удачей. Объединяя в себе математику, психологию, экономику и физику, азартные игры представляют собой настоящий заповедник для исследователей, которых интересуют случайные или кажущиеся таковыми события.

Изучение связей между наукой и игрой приносит пользу не только ученым. Игроки все активнее используют научные идеи для разработки успешных стратегий. Часто теория совершает круг: алгоритм, рожденный научным интересом к азартным играм, возвращается к своему источнику и становится на службу обычным людям, стремящимся сорвать большой куш в казино.

Когда в конце 1940-х физик Ричард Фейнман впервые посетил Лас-Вегас, он перепробовал разные игры, пытаясь вычислить свой ожидаемый выигрыш (или скорее проигрыш). Крэпс, полагал Фейнман, игра невыгодная, но все же не совсем грабительская: по расчетам ученого, на каждый поставленный доллар ожидаемая потеря составляла в среднем один доллар и сорок центов. Конечно, это была предполагаемая цифра, с учетом большого количества попыток. Личный опыт Фейнмана оказался на редкость неудачным – он сразу же проиграл пять долларов. Этого было достаточно, чтобы навсегда завязать с азартными играми и казино.

Тем не менее в последующие годы Фейнман несколько раз посещал Лас-Вегас. Он ужасно любил болтать с танцовщицами. Как-то раз, когда он обедал с актрисой по имени Мэрилин, та указала на проходящего мимо посетителя. Это был знаменитый профессиональный игрок Ник Дандолос по прозвищу Ник Грек. Фейнмана его успех удивил. Просчитав вероятность выигрыша в казино, он не мог понять, каким образом Ник Грек оказывался в плюсе.

Мэрилин подозвала Ника к столику, и Фейнман спросил, как ему удается зарабатывать азартными играми на жизнь. «Я делаю ставки только тогда, когда удача на моей стороне», – ответил Ник. Фейнман был озадачен: как может удача быть на чьей-либо стороне? Но затем Ник открыл Фейнману настоящий секрет своего мастерства. «Я ставлю не на карты, которые лежат на столе, – сказал он, – а на суеверных людей, которые сидят за столом и верят в счастливые числа». Ник понимал, что казино не победить, и играл не против него, а против других наивных игроков. В отличие от парижских поклонников мартингейла он понимал суть игры и людскую психологию. Он смотрел дальше банальных приемов – которые к тому же могли стоить ему денег – и научился предугадывать, когда шансы будут в его пользу. Главный фокус тут был не в самих расчетах, а в том, как с их помощью создать эффективную стратегию.

И хотя мозгами игроки обычно пользуются реже, чем азартом, нам известны и другие истории об успешных стратегиях. Ходят легенды о целых синдикатах, которые нашли лазейки в системе лотереи, и компаниях, озолотившихся на дефектах рулетки. Рассказывают и байку о студентах – обычно это математики, – выигравших кучу денег, запоминая карты.

Однако в последние годы эти техники уступили место более изощренным методам. Игроки придумывают все новые и новые способы обыграть казино и букмекеров – от предсказания результатов спортивных матчей при помощи статистического анализа до разработки искусственного интеллекта, способного играть в покер лучше человека. Но кто они – люди, обращающие чистую науку в звонкую монету? И, что еще важнее, – откуда они берут свои хитрости?

Журналистов, пишущих статьи про игроков, «взломавших систему», интересуют главным образом личность победителя и сумма выигрыша, а применяемые ими научные методы подаются как этакий математический фокус-покус. О самом важном эти «истории успеха» умалчивают, и научные теории остаются в тени. Но мы должны задаться вопросом: каким образом совершаются подобные трюки? На протяжении веков азартные игры вдохновляли ученых открывать для себя новые горизонты и расширяли наши познания о случайности и механизме принятия решений. Методики, применяемые в азартных играх, вышли за пределы казино, они используются в самых разных областях нашей жизни – от технических наук до финансовой индустрии. Раскрыв внутреннюю механику современных игровых стратегий – беттинга, – мы сможем понять, как различные научные концепции продолжают менять наше представление об удаче.

Азартные игры – это настоящая фабрика невероятных идей, простых и изощренных, дерзких и абсурдных. По всему миру игроки проверяют на прочность пределы предсказуемости и границы между порядком и хаосом. Одни умело пользуются нюансами механизма принятия решений и соревновательного инстинкта. Другие изучают странности человеческого поведения и саму природу мышления. Анализируя успешные стратегии беттинга, мы можем узнать, как азартные игры влияют на наше понимание удачи и как удачей управлять.

1

Три степени незнания

Неподалеку от лондонского отеля Ritz находится казино Ritz Club. Заведение славится своим роскошным убранством. За богато отделанными столами дежурят одетые в черную униформу крупье, стены украшены картинами эпохи Ренессанса, свет ламп отражается в позолоте внутренней отделки. К несчастью для простых игроков, казино славится еще и своей эксклюзивностью. Не каждый может испытать здесь удачу, для входа необходимо иметь клубную карту или быть постояльцем отеля, ну и, конечно, обладать солидной суммой.

Как-то вечером в марте 2004 года в Ritz Club вошла блондинка в сопровождении двух мужчин в элегантных костюмах. Новые посетители выбрали рулетку, однако эти люди не были похожи на остальных хайроллеров: они не стали пользоваться бонусами, которые казино предлагает игрокам с крупными ставками. Впрочем, их скромность себя окупила, и за ночь они выиграли 100 тысяч фунтов – сумма немаленькая, однако вполне обычная для заведения уровня Ritz Club. На следующую ночь троица вернулась и опять заняла места у стола с рулеткой. В этот раз их выигрыш был намного крупнее: после обналичивания фишек сумма составила миллион и 200 тысяч фунтов. Сотрудники службы безопасности насторожились и, когда игроки покинули зал, просмотрели записи с камер видеонаблюдения. Того, что они увидели, было достаточно для обращения в полицию, и вскоре девушка и два ее спутника были арестованы в отеле неподалеку от казино.

Уроженку Венгрии и сопровождавших ее двоих сербов обвинили в получении денег обманным путем. Как писала пресса, у мошенников был лазерный сканер, считывавший вращение рулетки. Результаты сканирования передавались на крошечный потайной компьютер, который и предсказывал, где остановится шарик. Гламур, шпионская техника – здесь было все, что нужно для сенсации. Но самое главное журналисты упустили: никто не смог точно объяснить, как можно записать движение шарика в рулетке и конвертировать данные в успешный прогноз. И наконец – разве рулетка не есть сама случайность?

Существует два способа понять принцип действия рулетки, и Анри Пуанкаре интересовали оба. Случайность была одним из множества занимавших его явлений; в начале ХХ века внимание Пуанкаре так или иначе привлекало все, что так или иначе было связано с математикой. Он был последним подлинным «универсалом» в своей дисциплине. Впоследствии ни одному из его коллег не удалось отметиться во всех областях математики и в каждой совершить интересные открытия и установить важные закономерности, как это сделал Пуанкаре.

Пуанкаре полагал, что явления, подобные рулетке, кажутся непредсказуемыми потому, что мы не знаем их причины. Он предложил классифицировать проблемы по степени нашего незнания. Если мы точно знаем первоначальное состояние объекта – например, его положение в пространстве и скорость – и как на него распространяется действие физических законов, то мы имеем дело с обычной задачкой из учебника физики. Пуанкаре назвал это первой степенью незнания: у нас есть вся необходимая информация и нужно лишь произвести несложные вычисления.

Вторая степень незнания – когда мы знаем, как на объект воздействуют физические законы, но не знаем первоначального положения объекта или не можем точно его измерить. В этом случае мы должны либо усовершенствовать систему измерения, либо ограничить область прогнозирования того, что случится с нашим объектом в ближайшем будущем. И наконец, третья, наиболее обширная степень незнания – когда мы не знаем ни первоначального состояния объекта, ни воздействия на него законов физики. Мы также сталкиваемся с третьей степенью незнания, если эти законы слишком сложны, чтобы мы описали их действие. Допустим, мы уронили банку краски в бассейн с водой. Мы можем легко спрогнозировать реакцию купающихся, но прогнозировать поведение молекул краски и воды будет намного труднее.

Однако мы можем попробовать другой подход: не изучать взаимодействие молекул между собой во всех подробностях, а понять общие закономерности. Рассматривая совокупность частиц жидкости, мы сможем проследить, как они будут распространяться и смешиваться, пока спустя определенный период времени краска не окажется рассеянной по всему бассейну. Даже ничего не зная о причине происходящего, мы можем оценить его следствие.

То же самое можно сказать и о принципе действия рулетки. Траектория шарика зависит от множества факторов, которые мы не можем отследить, наблюдая за вращающимся колесом. Так же как с молекулами воды, мы не можем делать прогнозы о конкретном вращении рулетки, если не понимаем общие закономерности, влияющие на траекторию движения шарика. Но, как предполагал Пуанкаре, нам не обязательно знать, что именно заставило конкретный шарик остановиться здесь, а не там. Мы можем просто пронаблюдать множество вращений и сделать выводы.

Именно такими наблюдениями занимались Альберт Хибс и Рой Уолфорд в 1947 году. Оба учились в Чикагском университете, Хибс – на математическом факультете, его друг Уолфорд – на медицинском. Как-то на каникулах приятели отправились в Рино – удостовериться, так ли непредсказуема игра в рулетку, как полагают устроители казино.

Большинство современных рулеток выполнены в оригинальном французском дизайне: 38 ячеек с числами от 1 до 36, поочередно раскрашенных в черный и красный цвет, и ячейки с цифрами 0 и 00 – зеленого цвета. Когда выпадает «зеро», выигрывает казино. Если мы сделаем серию ставок по одному доллару на свой любимый номер, то в среднем можем ожидать один выигрыш на каждые 38 попыток, и в этом случае казино заплатит нам 36 долларов. Таким образом, если мы будем крутить рулетку 38 раз, мы потратим 38 долларов, но выиграть в среднем сможем лишь 36 долларов. Это значит, что наши потери составят два доллара, или по пять центов на каждый спин – запуск рулетки.

Казино получает доход благодаря равномерному распределению выпадения всех чисел рулетки при каждом вращении. Однако рулетка, как и всякий механизм, не застрахована от дефектов или износа при длительной работе. Хибс и Уолфорд искали именно такие столы, где числа распределялись неравномерно. Обнаружив число, выпадающее чаще остальных, они могли извлечь из этой ситуации выгоду. Друзья снова и снова смотрели, как крутится рулетка, надеясь уловить нечто необычное. Но тут возникает вопрос: что значит «необычное»?

Пока во Франции Пуанкаре размышлял об истоках случайности, на другом берегу Ла-Манша Карл Пирсон проводил летние каникулы за подбрасыванием монетки. К концу каникул математик подбросил шиллинг 25 тысяч раз, прилежно записывая результат каждого броска. Большинство своих опытов он проделал на свежем воздухе. «Не сомневаюсь, что этим я заработал скверную репутацию у соседей», – вспоминал ученый. Помимо экспериментов с шиллингом Пирсон подрядил своего коллегу подбрасывать монету в один пенс (более 8000 раз) и вытягивать из сумки лотерейные билеты.

Пирсон считал, что для понимания случайности важно собрать как можно больше данных. По его словам, проблема заключалась в том, что ученые не располагают «абсолютным знанием о природных явлениях» – им доступно только «знание об ощущениях». Пирсон не ограничился монетами и лотерейными билетами. В поиске новых данных он обратил взгляд на Монте-Карло.

Как и Пуанкаре, Пирсон был человеком энциклопедического склада. Он интересовался не только теорией случайности. Пирсон писал пьесы и стихи, изучал физику и философию. Англичанин по рождению, он много путешествовал. Особенно его интересовала немецкая культура, и когда в университете Гейдельберга его имя – Карл – по ошибке написали с заглавной латинской «К» вместо «С», он решил писать его так и впредь.

К сожалению, надежд съездить в Монте-Карло у ученого было мало. Пирсон понимал, что вряд ли сможет добыть финансирование для «научной командировки» в казино Французской Ривьеры. Но лично смотреть на крутящийся шарик оказалось вовсе не обязательно. Газета Le Monaco каждую неделю публиковала записи результатов игры в рулетку. Пирсон решил сосредоточиться на результатах четырехнедельного периода лета 1892 года. Для начала он посмотрел пропорции выпадения красного и черного. При условии вращения рулетки бесконечное число раз и игнорирования зеро Пирсон ожидал увидеть соотношение красного и черного, близкое к равновесному.

Согласно результатам, опубликованным в газете, при примерно 16 тысячах спинов красное выпадало в 50,15 % случаев. Чтобы узнать, была ли эта разница случайной, Пирсон подсчитал количество спинов с отклонениями от 50 % и сравнил полученную цифру со средней, выведенной на основе вероятности. Оказалось, что разница в 0,15 % достаточно мала, чтобы усомниться в случайном характере вращения рулетки.

Итак, красное и черное выпадали примерно одинаковое число раз. Но Пирсон хотел проверить и другие параметры, например, выяснить, как часто выпадает один и тот же цвет подряд. Такая «полоса удачи» способна привести игроков в настоящее исступление. Например, в ночь на 18 августа 1913 года в одном из казино Монте-Карло шарик останавливался на черном больше дюжины раз подряд. Игроки толпились вокруг стола в ожидании очередного спина. Ну, не может же быть, чтобы снова выпало черное? Пока крутился шарик, игроки лихорадочно делали ставки на красное, но шарик упорно останавливался на черном. И опять. И опять. Однажды шарик «посетил» черное 26 раз подряд! Если вращение колеса есть дело случая, то каждый последующий спин не связан с предыдущим. Частота выпадений черного не делает более вероятным выпадение красного. Но в тот вечер все игроки верили, что вот-вот выпадет красное. С тех пор эта психологическая ловушка известна как «ошибка игрока» или «ложный вывод Монте-Карло».

Когда Пирсон сравнил количество выпадений одного цвета подряд с предполагаемым количеством таких выпадений в случае полной непредсказуемости поведения рулетки, результаты его насторожили. Один и тот же цвет выпадал два и три раза подряд гораздо реже, чем должен был бы. А чередования разных цветов – например, «красное-черное-красное» – встречались подозрительно часто. Пирсон просчитал вероятность получения столь странного результата, взяв за основу предположение, что колесо рулетки вращается случайным образом. Вероятность, которую он обозначил как p, оказалась чрезвычайно мала. Настолько мала, что, по словам Пирсона, он не дождался бы нужного результата, даже наблюдай он за рулеткой в Монте-Карло с момента Сотворения мира. Ученый счел, что полученные им данные неопровержимо доказывают: рулеткой управляет не слепой случай.

Пирсон был в ярости. Он надеялся, что рулетка станет отличным источником случайных данных, а его огромная лаборатория-казино выдавала недостоверные результаты. «Ученый может успешно предсказать, какой стороной упадет полупенсовик, – сетовал он, – но рулетка в Монте-Карло камня на камне не оставит от его теорий и посмеется над его расчетами». Коль скоро рулетка оказалась бесполезна для его исследований, Пирсон предложил закрыть все казино, а их доходы пожертвовать на благо науки. Позже, правда, обнаружилось, что в полученных ученым данных были повинны вовсе не «неправильные» рулетки. Просто журналисты из Le Monaco, которым по долгу службы полагалось наблюдать за игровыми столами и вести записи, часто предпочитали не утруждаться и брали цифры с потолка.

В отличие от ленивых репортеров Хибс и Уолфорд наблюдали за четырьмя рулетками в казино Рино очень внимательно. И обнаружили, что одна из них имеет смещение. Сделав ставки на этой «кривой» рулетке, друзья смогли изрядно увеличить свою первоначальную стодолларовую ставку. Сведения об их конечном выигрыше разнятся, но, каким бы он ни был, его хватило на покупку яхты и годовой круиз по Карибскому морю.

Существует множество легенд об игроках, обогатившихся схожим образом. Большой популярностью пользовались истории об инженере Викторианской эпохи Джозефе Джаггере, который при помощи дефектной рулетки выиграл в казино Монте-Карло целое состояние, а также об аргентинском синдикате, члены которого в начале 1950-х обчищали принадлежащие государству казино. Благодаря опытам Пирсона распознать уязвимую рулетку стало нетрудно. Но найти рулетку со смещением еще не значит найти прибыльную рулетку.

В 1948 году статистик Алан Уилсон на протяжении четырех с лишним недель записывал круглосуточные результаты игры в рулетку. Применив методику Пирсона, он быстро понял, что рулетка имеет смещение. Однако это не давало подсказок, как следует делать ставки. В публикации своего исследования Уилсон бросил читателям-игрокам вызов. «На основе каких статистических показателей вы поставите на конкретное число в рулетке?» – задал он им вопрос.

На поиск ответа ушло 35 лет. В конце концов математик Стюарт Этье догадался, что фокус состоит не в том, чтобы искать рулетку с дефектом, а в том, чтобы найти рулетку, выгодную для ставок. Даже если, отследив огромное количество спинов, мы установим, что одно из 38 чисел выпадает чаще остальных, этого будет еще не достаточно для получения выгоды. Число должно появляться не меньше чем один раз за 36 спинов, в противном случае мы все равно проиграем казино.

На рулетке Уилсона наиболее часто выпадающим числом было 19, но Этье не нашел доказательств того, что ставка на него была бы выгодна в долгосрочной перспективе. Несомненно, в поведении рулетки присутствовала некая закономерность, однако «счастливых» чисел на ней не было. Этье понимал, что большинству игроков пользоваться его методом уже поздно: с тех пор как Хибс и Уолфорд сорвали в Рино большой куш, рулетки со смещением практически исчезли из казино. Но рулетке недолго оставалось быть непобедимой.

Находясь на самом глубоком уровне незнания и не понимая причин отдельных явлений, единственное, что мы можем сделать, – осуществить наблюдение за множеством явлений и понять, существует ли между ними закономерность, она же паттерн. Как мы видим, этот статистический подход хорошо работает с дефектной рулеткой. Не имея знаний о ее физических особенностях, мы тем не менее можем прогнозировать ее поведение.

Но что, если отсутствует смещение в рулетке или недостает времени для сбора данных? Троица, игравшая в Ritz, не следила за спинами в надежде найти дефект рулетки. Игроки наблюдали за траекторией шарика в процессе вращения рулетки. Иными словами, они проскочили не только третий, но и второй уровень невежества по Пуанкаре.

А это вам не шутки. Ведь даже если мы досконально разберем все физические процессы, воздействующие на движущийся шарик, то все равно не сможем точно спрогнозировать, где он остановится. В отличие от случая с банкой краски в бассейне причины явления не слишком сложны, а, наоборот, слишком ничтожны, чтобы их заметить. Малейшие различия в начальной скорости шарика способны существенно повлиять на характер его движения. Пуанкаре утверждал, что изменение в исходном состоянии шарика в рулетке – настолько незначительное, что ускользает от нашего внимания, – приводит к эффекту, не заметить который уже невозможно. И именно этот эффект мы приписываем игре случая.

Проблема, известная как «чувствительная зависимость от начальных условий», заключается в том, что, даже если мы соберем детальную информацию о некоем явлении – будь то вращение рулетки или движение тропического шторма, – малейшее упущение обернется слишком серьезными последствиями. За 70 лет до того, как математик Эдвард Лоренц задал на лекции свой знаменитый вопрос: «Может ли взмах крыльев бабочки в Бразилии запустить торнадо в Техасе?» – Пуанкаре уже в общих чертах обрисовал «эффект бабочки».

Исследования Лоренца, из которых впоследствии выросла теория хаоса, фокусировались главным образом на прогнозировании. Лоренцем двигало стремление научиться более точно предсказывать погоду и заглядывать в будущее. Пуанкаре интересовало нечто противоположное: как много времени требуется для того, чтобы процесс стал непредсказуемым? И можно ли считать таковым движение шарика в рулетке?

Рулетка вдохновила Пуанкаре, однако свой прорыв в науке он осуществил, изучая движение значительно более крупных объектов. В XIX веке астрономы создали карту астероидов, проходящих через созвездия зодиака. Они определили, что астероиды распределяются по звездному небу достаточно равномерно. Пуанкаре хотел понять почему.

Ему было известно, что астероиды подчиняются законам движения Кеплера и что узнать их начальную скорость невозможно. Как заметил Пуанкаре, «звездное небо можно представить в виде гигантской рулетки, на которую Создатель бросил множество шариков». Чтобы понять принцип движения астероидов, Пуанкаре решил сравнить общее расстояние, которое проходит гипотетический объект, с числом его вращений вокруг центра своей орбиты.

Представьте, что вы разворачиваете очень длинный рулон очень гладкой бумаги. Разложив бумагу на полу, вы запускаете по ней шарик. Вслед ему – еще один, еще и еще. Одни шарики вы запускаете быстро, другие медленно. Поскольку бумага ровная, шарик, запущенный быстрее, укатится дальше. Через некоторое время после начала движения шариков вы фиксируете их положение на бумаге, делая надрезы на краю листа бумаги напротив каждого шарика. Затем вы убираете шарики и скручиваете рулон. Теперь, если вы посмотрите на край рулона, каждый надрез сможет оказаться в любой точке окружности. Это происходит потому, что длина листа и, следовательно, расстояние, которое проходят шарики, намного больше диаметра рулона. Даже небольшая разница в дистанциях, пройденных шариками, значительно отразится на расположении надрезов на окружности. Если вы скрутите рулон достаточно туго, чувствительная зависимость от начальных условий приведет к равномерному размещению мест надрезов. Пуанкаре доказал, что то же самое происходит с орбитами астероидов. С течением времени они равномерно распределяются по поясу зодиака.

Для Пуанкаре и рулетка, и пояс зодиака подтверждали один и тот же принцип. Ученый предположил, что после большого количества вращений место остановки шарика в рулетке тоже может быть абсолютно случайным. Он отметил, что определенные варианты ставок попадают в пределы случайности чаще, чем другие. Поскольку ячейки рулетки покрашены попеременно в черный и красный цвета, прогнозирование выпадения того или иного цвета предполагает точный расчет того места, где остановится шарик. Это чрезвычайно трудно даже после одного или двух спинов. Другие виды ставок, например на то, в какой части рулетки остановится шарик, меньше зависят от начальных условий. Здесь потребуется множество спинов, прежде чем результат станет практически случайным.

К счастью для игроков, шарик в рулетке крутится недолго (хотя существует расхожий миф, будто математик Блез Паскаль изобрел рулетку, пытаясь построить вечный двигатель). И в результате игроки могут (в теории) избежать второй степени незнания Пуанкаре путем измерения начального пути шарика. Нужно лишь понять, какие параметры взять для вычислений.

Инцидент в Ritz был не первым случаем, когда для наблюдений за рулеткой применялись научные технологии. Восемь лет спустя после того, как Хибс и Уолфорд воспользовались дефектом рулетки в Рино, Эдвард Торп сидел в комнате отдыха Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе и болтал с приятелями о том, где бы по-быстрому срубить денег. Тем солнечным воскресным днем студенты обсуждали, как обдурить рулетку. Когда один из них сказал, что механизм рулетки в казино практически безупречен, в голове у Торпа что-то щелкнуло. Он как раз начал работать над диссертацией по физике, и ему пришло в голову, что победа над надежной, хорошо сбалансированной рулеткой – на самом деле не вопрос статистики. Это вопрос физики. «Крутящийся шарик рулетки вдруг показался мне планетой, величественно движущейся по точной и предсказуемой траектории», – вспоминал Торп.

В 1955 году Торп раздобыл стол с рулеткой в половину натуральной величины и приступил к работе, анализируя спины с камерой и секундомером. Однако вскоре он заметил, что взятое для эксперимента колесо имеет столько дефектов, что ни о каком прогнозировании его поведения и речи быть не может. Но это не остановило ученого, и он продолжил изучать рулетку всеми доступными способами. Однажды Торп даже не дошел до входной двери, чтобы открыть ее приглашенным на ужин родственникам. Гости нашли его на кухне, в пылу научного эксперимента. Ученый катал по полу шарики, выясняя, какое расстояние способен преодолеть каждый из них.

Завершив работу над диссертацией, Торп уехал на Восточное побережье, работать в Массачусетском технологическом институте. Там он познакомился с Клодом Шенноном – одним из столпов МТИ. За предыдущее десятилетие Шеннон стал пионером в области «теории информации», которая произвела прорыв в области хранения и передачи данных и впоследствии сыграла важную роль при создании технологий, позволивших покорить космос, создать мобильную связь и интернет.

Торп рассказал Шеннону о своих рулеточных исследованиях, и тот предложил продолжить работу в его доме, расположенном в нескольких милях от города. Когда Торп вошел в подвал Шеннона, стало ясно, что его коллега – пламенный фанат техники. Здесь был настоящий рай для изобретателя – подвал заполняли моторы, подъемные блоки, переключатели и шестеренки на сумму около 100 тысяч долларов. У Шеннона была даже пара огромных «ботинок» из полистирола, в которых он прогуливался по воде на ближайшем озере, изрядно пугая соседей. Вскоре Торп и Шеннон добавили к этой коллекции соответствующую всем стандартам индустрии рулетку за 1400 долларов.

Большинство рулеток устроены таким образом, что позволяют игрокам проследить за траекторией шарика прежде, чем они сделают ставку. Рулетка вращается против часовой стрелки, крупье запускает шарик по часовой стрелке, отправив его вокруг обода чаши. Как только шарик делает петлю несколько раз, крупье объявляет: «Ставок больше нет», а если хочет подпустить в свою скороговорку французского шика, то: «Rien ne va plus». В конце концов шарик ударяется об один из дефлекторов, расположенных у края колеса, и падает в ячейку. К несчастью для игроков, траектория шарика является, как принято говорить в математике, «нелинейной»: исходные данные (скорость шарика) не прямо пропорциональны выходным данным (месту, где шарик остановится). Другими словами, Шеннон и Торп столкнулись с третьей степенью незнания.

Ученые решили не мучиться с выведением уравнения для расчета движения шарика, а отталкиваться от наблюдений. Экспериментальным путем они выяснили, как долго остается на дорожке шарик, двигающийся с определенной скоростью, и использовали эту информацию при прогнозировании. Во время спина они включали секундомер, чтобы понять, как быстро шарик совершит один оборот, затем сопоставляли полученные данные с предыдущими и прогнозировали момент удара шарика о дефлектор.

Вычисления необходимо было проводить в естественных условиях. В конце 1960 года Торп и Шеннон сконструировали первый в мире переносной компьютер и отправились с ним в Вегас. Они воспользовались им всего один раз – провода оказались ненадежными, и их приходилось постоянно чинить. Но несмотря на технические проблемы, выглядел компьютер многообещающе. Поскольку их стратегия давала игрокам преимущество, Шеннон решил, что, если об исследованиях станет известно, казино могут отказаться от рулеток. Следовательно, испытания надлежало проводить в строжайшем секрете. Торп вспоминал: «Он говорил, что теоретики социологии, изучавшие распространение слухов, утверждали, что при случайной выборке из двух человек, например в США, всегда находится до трех связанных с ними знакомых, или «три степени разделения»». Идея «шести степеней разделения» (теория шести рукопожатий) получила широкое распространение благодаря опубликованному в 1967 году эксперименту социолога Стэнли Милгрэма. В нем участникам предлагалось отправить письмо адресату через кого-нибудь из своих знакомых. В среднем, прежде чем достигнуть своей цели, письмо проходило через руки шести человек; так родился феномен шести степеней. Последующие исследования доказали, что предположение Шеннона о трех степенях разделения было ближе к правде. В 2012 году ученые проанализировали связи между пользователями Facebook – а по ним можно достоверно судить о межличностных связях в реальной жизни – и обнаружили, что между двумя людьми существует в среднем 3,74 степени разделения. Следовательно, опасения Шеннона были небеспочвенны.

В конце 1977 года Нью-Йоркская академия наук провела первую большую конференцию по теории хаоса. Принять в ней участие пригласили самых разных специалистов. В их числе были Джеймс Йорк, математик, первым употребивший термин «хаотический» для описания упорядоченных, но непредсказуемых явлений, таких как движение рулетки и погода, и Роберт Мэй, эколог, изучавший в Принстонском университете динамику популяций. Приехал на конференцию и Роберт Шоу – молодой физик из Калифорнийского университета в Санта-Крузе. В рамках работы над диссертацией он изучал движение проточной воды, но это был не единственный его научный проект. Вместе с другими аспирантами он разрабатывал способ переиграть казино Невады. Они называли себя «эвдемонистами», отдавая дань древнегреческому философскому учению о счастье, и история их сражений с рулеткой стала легендой мира азартных игр.

Проект начался в конце 1975 года, когда два выпускника Калифорнийского университета, Дуэйн Фармер и Норман Пэкард, купили подержанное «чертово колесо». Все предыдущее лето эти двое развлекались, испытывая разные беттинг-стратегии на всевозможных азартных играх, пока наконец не остановили свой выбор на рулетке. Несмотря на предостережения Шеннона, Торп все же намекнул в одной из своих книг, что способ переиграть рулетку существует. Одного этого невзначай оброненного на последних страницах книги замечания хватило, чтобы убедить Фармера и Пэкарда серьезно заняться «чертовым колесом». Работая по ночам в университетской лаборатории, они шаг за шагом вникали в особенности физики вращения рулетки. Внимательно наблюдая за крутящимся шариком и производя расчеты, они вскоре пришли к выводу, что полученной информации достаточно для того, чтобы делать выгодные ставки.

Один из эвдемонистов, Томас Басс, позже запечатлел их похождения в своей книге «Эвдемонический пирог». Он подробно описал, как, хорошенько все просчитав, участники группы спрятали компьютер в ботинке и с его помощью смогли предсказать движение шарика в нескольких казино. Однако Басс умолчал о самом важном – об уравнении, лежавшем в основе метода эвдемонистов.

Об эвдемонистах так или иначе слышали почти все математики, интересующиеся азартными играми. Многие к тому же задавались вопросом: а нельзя ли проверить легенду на практике? И когда в 2012 году в журнале Chaos появилась статья, посвященная рулетке, стало ясно: человек, готовый это сделать, нашелся.

Майкл Смолл впервые прочитал «Эвдемонический пирог», когда работал в южноафриканском инвестиционном банке. Он не был игроком и не любил казино, однако идея компьютера в ботинке ему понравилась. Его диссертация была посвящена анализу нелинейных динамических систем, и рулетка отлично вписывалась в эту категорию. Десять лет спустя Смолл переехал в Азию, где стал работать в Гонконгском политехническом университете. Вместе с коллегой с инженерного факультета Чи Кун Цэ они решили, что разработка «рулеточного» компьютера может стать интересным научным проектом.

Может показаться странным, что ученым понадобилось так много времени для публичного тестирования давно известной стратегии игры в рулетку. Но ведь и добраться до заветного колеса было не так легко: средства на посещение казино в графе университетских расходов обычно не значатся, так что возможности для проведения исследовательской работы ограниченны. Пирсон полагался на ненадежные данные, полученные из газет, потому что не нашел спонсора, который оплатил бы ему поездку в Монте-Карло, а Торп вряд ли смог бы продолжить свои эксперименты без поддержки Шеннона.

Препятствовала исследованиям и математическая составляющая проблемы. И не потому, что управляющие рулеткой математические законы чересчур сложны, наоборот – они слишком просты. Редакторы научных журналов очень разборчивы в выборе публикаций, и попытки разобраться в поведении «чертова колеса» при помощи школьных знаний – тема не очень для них привлекательная. Впрочем, иногда в печати все же появлялись публикации, посвященные рулетке, например работа Торпа с описанием его метода. И хотя Торп разболтал достаточно, чтобы убедить читателей, в том числе эвдемонистов, что смоделированный на компьютере прогноз может быть успешным, подробности он опустил. Самые интересные вычисления в статье явно отсутствовали.

Уговорив руководство университета приобрести рулетку, Смолл и Цэ попытались воспроизвести стратегию эвдемонистов. Они начали с разделения траектории шарика на три фазы.

Три стадии спина

Когда крупье запускает колесо рулетки, шарик сначала двигается вокруг его верхнего обода, в то время как центральная часть рулетки крутится в противоположном направлении. В это время на шарик воздействуют две конкурирующие силы: центростремительная сила удерживает его на ободе, а сила притяжения тянет вниз, к центру колеса.

Ученые принимали во внимание, что во время вращения шарика сила трения замедляет его движение. В конце момент импульса шарика уменьшается настолько, что гравитация побеждает. В этой точке шарик переходит во вторую фазу – он сходит с ободка и беспрепятственно движется по дорожке между ободком и дефлекторами. Шарик постепенно смещается к центру колеса до тех пор, пока не столкнется с одним из расположенных на окружности дефлекторов.

До этой точки траекторию шарика может просчитать даже школьник. Но как только он ударяется о дефлектор, его траектория рассеивается, и теоретически он может остановиться в одной из нескольких ячеек. Для игроков это означает, что шарик покидает мир уютной предсказуемости и погружается в подлинный хаос.

С этой неопределенностью Смолл и Цэ могли справиться при помощи статистических измерений. Правда, для простоты они решили свести прогноз к определению числа на рулетке, рядом с которым будет находиться шарик, когда столкнется с дефлектором. Чтобы предсказать точку, в которой шарик будет задевать один из дефлекторов, Смоллу и Цэ необходимы были шесть параметров: первоначальное положение шарика, его скорость и ускорение и аналогичные показатели для рулетки. К счастью, эти шесть параметров можно было свести к трем, если рассматривать траекторию с другой отправной точки. Для стороннего наблюдателя шарик движется в одном направлении, а колесо – в другом. Однако расчеты можно произвести и «с позиции шарика», в этом случае необходимо только измерить, как шарик движется относительно колеса. Смолл и Цэ делали такие расчеты посредством секундомера, фиксируя время прохождения шариком определенной точки.

Написав компьютерную программу для проведения расчетов, Смолл приступил к экспериментальному тестированию системы. Он запустил шарик в рулетке, проводя необходимые измерения вручную, как это делали эвдемонисты. Когда шарик описал около дюжины кругов вдоль обода колеса, Смолл собрал достаточно информации, чтобы предугадать, где он остановится. В этот день он смог провести свой эксперимент 22 раза, прежде чем пришлось закрывать кабинет. Три попытки увенчались успехом – Смолл смог точно спрогнозировать число, на которое выпадет шарик. Если бы он брал случайные числа, вероятность получения такого результата (значение р) составила бы менее 2 %. Теперь Смолл не сомневался: стратегия эвдемонистов работает, и наука может победить рулетку.

После ручных измерений Смолл и Цэ установили высокоскоростную камеру для сбора более точных данных о положении шарика. Камера делала примерно 90 снимков в секунду, позволяя увидеть, что происходит с шариком после столкновения с дефлектором. С помощью двух студентов-инженеров ученые запустили колесо 700 раз, фиксируя разницу между своими прогнозами и полученным результатом. Собрав всю информацию, они рассчитали вероятность остановки шарика на определенном расстоянии от прогнозируемой ячейки. Для большинства ячеек эта вероятность не была особо малой или большой; выпадение было приблизительно таким же, как если бы они выбирали ячейки в этой области случайно. Тем не менее вырисовывалось несколько закономерностей. Шарик останавливался в прогнозируемой ячейке намного чаще, чем если бы его движение было хаотично. Более того, он редко останавливался на цифрах, расположенных непосредственно перед прогнозируемой ячейкой. Последнее, впрочем, было вполне объяснимо: чтобы добраться до этих ячеек, шарику пришлось бы отскакивать назад.

Камера помогала понять, как ведет себя шарик в идеальной ситуации – когда наблюдатель обладает всей необходимой информацией о его траектории, – но пронести высокоскоростную камеру в казино практически невозможно и полагаться здесь можно только на измерения, сделанные подручными средствами. Однако Смолл и Цэ не считали это серьезным препятствием: они предположили, что даже прогнозы, сделанные с помощью секундомера, повышают шансы выигрыша на 18 %.

После публикации результатов экспериментов Смолл начал получать отзывы игроков, использовавших его метод в настоящих казино. «Один парень прислал мне детальное описание своей работы, – рассказывал он, – в том числе потрясающие снимки “кликера” – машинки, которую он смастерил из компьютерной мыши и закрепил на большом пальце ноги». Исследования Смолла привлекли внимание и Дуэйна Фармера. Об экспериментах он услышал во время круиза на парусном судне у берегов Флориды. Фармер хранил свою систему в секрете более тридцати лет – так же, как и Смолл, он не любил казино. Поколесив в свое время по Неваде вместе с эвдемонистами, он в очередной раз убедился в том, что индустрия наживается на игроманах. И если кто-то хотел обмануть рулетку с помощью компьютера, Фармер не собирался разглашать их секреты, чтобы не сыграть на руку казино. Однако после публикации работ Смолла и Цэ Фармер все же решил нарушить обет молчания. Главным образом потому, что между подходом эвдемонистов и тем, который предлагали ученые из Гонконга, имелось существенное различие.

Смолл и Цэ считали, что сила трения является основной силой, замедляющей скорость шарика, но Фармер был с ними не согласен. Он доказывал, что шарик замедляет не трение, а аэродинамическое сопротивление. В качестве доказательства он приводил тот довод, что, если поместить рулетку в безвоздушное пространство (где, следовательно, нет аэродинамического сопротивления), шарик совершит тысячи оборотов, прежде чем упасть в ячейку.

Система Фармера, как и расчеты Цэ и Смолла, нуждалась в практической проверке. Во время своих вылазок в казино эвдемонисты должны были вычислить три параметра: аэродинамическое сопротивление, скорость шарика в момент его выпадения из обода колеса и скорость, с которой замедлялось колесо. Труднее всего было с аэродинамическим сопротивлением и скоростью шарика. Оба этих показателя оказывали одинаковое влияние на прогнозируемый результат: предполагалось, что эффект от уменьшения сопротивления приблизительно такой же, как от возрастания скорости.

Кроме того, исследователю необходимо помнить, что происходит в мире вокруг рулетки. Внешние факторы способны оказывать воздействие на физический процесс. Возьмем, к примеру, бильярд: если у вас идеально гладкий стол, удар кия заставит шары сталкиваться друг с другом самым беспорядочным образом. Чтобы спрогнозировать, где окажется биток спустя несколько секунд после удара, необходимо знать точно, как был нанесен удар. Но, по мнению Фармера и его коллег, для долгосрочных прогнозов этого недостаточно. Здесь надо принимать в расчет и такие факторы, как сила гравитации, причем не только земной. Чтобы точно предсказать, где окажется биток спустя минуту после удара, придется учесть в расчетах силу притяжения частиц на границе галактики.

Крайне важно знать и в каком состоянии находится стол. Здесь свою роль играет даже погода. В Санта-Крузе эвдемонисты, которые делали расчеты в солнечную погоду, обнаружили: стоило опуститься туману, и шарик начинал уходить с дорожки на полкруга раньше, чем говорил прогноз. Случались и помехи более частного характера. Во время одного из визитов в казино Фармер был вынужден прервать эксперимент, так как слишком грузный посетитель облокотился на стол и чуть наклонил колесо, спутав все расчеты.

Однако самой большой проблемой для эвдемонистов стало их собственное оборудование. Чтобы не возбуждать подозрений у службы безопасности казино, один исследователь наблюдал за рулеткой и проводил расчеты, а другой – беттор – делал ставки. Фокус был в том, чтобы с помощью беспроводного сигнала подсказать беттору, на какой номер ставить. Но приборы часто подводили: сигнал терялся, а вместе с ним пропадали инструкции. И хотя теоретически преимущество эвдемонистов перед казино составляло 20 %, из-за технических неполадок оно так и не вылилось в крупный выигрыш.

Со временем компьютеры совершенствовались, и некоторым игрокам все же удавалось использовать их в казино. Сведения об этом редко просачивались в прессу, за исключением случая в Ritz в 2004 году. Тогда газетчики ухватились за историю с лазерным сканером, однако спустя несколько месяцев, когда журналист Бен Бизли-Мюррей поговорил с представителями игровой индустрии, выяснилось, что они исключают «лазерную» версию. Скорее всего, игроки засекали время вращения рулетки при помощи мобильных телефонов. По сути это был тот же метод, что применяли эвдемонисты, однако современные технологии позволили использовать его более эффективно. Если верить бывшему эвдемонисту Норману Пэкарду, организация процесса была совсем не сложным делом.

А еще – абсолютно законным. Хотя группу в Ritz и обвинили в мошенничестве с целью получения денег обманным путем, в действительности они не вмешивались в игру. Никто из них не воздействовал на шарик и не манипулировал фишками. Спустя девять месяцев после ареста игроков полиция закрыла дело и вернула троице выигрыш в 1,3 миллиона фунтов. За этот большой куш счастливчикам следовало благодарить устаревшие законы об игорном бизнесе, которые на тот момент действовали в Великобритании. Акт об игорном бизнесе был подписан в 1845 году, и с тех пор не обновлялся и не учитывал новых игровых инструментов и методов.

К сожалению, в законе есть лазейки не только для игроков. Неписаное соглашение между игроком и казино – угадай правильно и получишь деньги – не обладает в Великобритании юридической силой. Вы не можете привлечь к суду игорный дом, если он отказывается выплатить вам ваш выигрыш. Казино любит игроков-неудачников и гораздо меньше расположено к тем, чьи стратегии работают. Неважно, что за система помогает вам выиграть, – казино обязательно применит к вам контрмеры. После того как выигрыш Хибса и Уолфорда, выискивавших в Рино рулетки с дефектами, превысил пять тысяч долларов, хозяева игорного зала поменяли местами столы. А эвдемонистам частенько приходилось спешно уносить из казино ноги, так и не завершив запланированных наблюдений.

Помимо пристального внимания со стороны службы безопасности, успешные стратегии объединяет еще кое-что – все они опираются на веру казино в невозможность прогнозирования поведения рулетки. Если колесо ведет себя предсказуемо вследствие некоего дефекта, игроки могут воспользоваться им, достаточно долго понаблюдав за рулеткой. Если же колесо работает безупречно и выигрышные номера распределяются равномерно, игроки сумеют «раскусить» его, когда соберут достаточно информации о траектории шарика.

Эволюция успешных рулеточных стратегий наглядно демонстрирует, как последние сто лет развивалась наука об удаче. Ранние способы обыграть рулетку сводились к тому, чтобы избежать третьей степени незнания – непонимания физических процессов. Изыскания Пирсона были чисто статистическими и ставили своей целью поиск закономерностей. Поздние попытки обыграть рулетку, включая случай в Ritz,основывались на другом подходе. Эти стратегии пытались преодолеть второй уровень незнания и предугадать поведение рулетки путем точного измерения исходного состояния шарика и колеса.

Для Пуанкаре рулетка была способом проиллюстрировать свою мысль о том, что простые физические процессы могут претерпевать изменения и производить впечатление непредсказуемых. Эта идея легла в основу теории хаоса, ставшей в 1970-х новой академической дисциплиной. Рулетка в то время постоянно фигурировала в научных исследованиях. Многие из эвдемонистов, кстати, продолжили изучать хаотические системы. Роберт Шоу в одном из своих исследований показал, как устойчивый ритм капель воды из протекающего крана становится непредсказуемым по мере того, как кран откручивают. Это один из первых описанных примеров происходящего в реальной жизни перехода от порядка к хаосу, когда процесс из четко структурированного становится практически случайным. Интерес к теории хаоса и рулетке с годами не ослабевает. Эта тема до сих пор волнует умы широкой публики, о чем свидетельствовал бурный интерес прессы к публикациям Смолла и Цэ в 2012 году.

Обмануть рулетку – заманчивая интеллектуальная задача, но не самый легкий и не самый надежный способ заработать деньги. Во-первых, препятствием могут стать пределы ставок. Эвдемонисты играли за столами с низкими ставками, что позволяло им оставаться в тени, однако ограничивало потенциальный выигрыш. Игра с большими ставками могла принести больше прибыли, но и привлечь пристальное внимание казино. Существуют также юридические тонкости: во многих странах компьютерные устройства, анализирующие поведение рулетки, запрещены, и даже, если нет официального закона, казино по понятным причинам враждебно настроены к тем, кто использует подобную технику. Обогатиться на рулетке трудно.

Поэтому рулетке принадлежит лишь маленькая глава в научной истории азартных игр. С тех пор как эвдемонистам пришла в голову идея спрятать компьютер в ботинок, ученые успели бросить вызов и другим играм. Как и рулетка, многие из них имеют давнюю репутацию непобедимых. И как в случае с рулеткой, научные методы показывают, насколько эта репутация ошибочна.

2

Счастливый билет

Среди колледжей Кембриджского университета Гонвилл и Гай – четвертый по старшинству, третий по богатству и второй по числу выпускников, получивших Нобелевскую премию. А еще это один из немногих колледжей, где каждый день подают обед из трех блюд, поэтому студенты с удовольствием проводят время в неоготическом трапезном зале с уникальными витражными окнами.

На одном из витражей изображена спираль ДНК – дань уважения бывшему студенту Фрэнсису Крику, на другом – пересекающиеся круги, в честь Джона Венна. Запечатлена в стекле и шахматная доска, каждая клеточка которой окрашена, на первый взгляд, случайным образом – в память об одном из основателей современной статистики Рональде Фишере.

Выиграв стипендию для обучения в колледже Гонвилл и Гай, Фишер провел здесь три года, изучая эволюционную биологию. Диплом он получил перед самым началом Первой мировой войны и предпринял несколько попыток вступить в ряды Британской армии, но неизменно получал отказ по причине плохого зрения. Всю войну Фишер преподавал математику в известных частных школах, а в свободное время трудился над научными статьями. Когда война стала близиться к концу, Фишер принялся искать другую работу и получил предложение занять место главного специалиста по статистике в лаборатории Карла Пирсона. Такой вариант его не устраивал – Фишер не мог простить Пирсону, что годом ранее тот раскритиковал в печати одну из его работ.

Вместо этого Фишер принял приглашение от Ротамстедской опытной станции, где занялся исследованиями в области сельского хозяйства. Ученого интересовали не столько результаты экспериментов, сколько их организация для получения максимальной эффективности. «Консультироваться со статистиком по окончании эксперимента – зачастую все равно, что просить провести посмертную экспертизу, – говорил он. – Возможно, он сможет подсказать, отчего эксперимент скончался».

Однажды Фишера заинтересовала проблема, с которой столкнулись работники станции: как правильно распределять химикаты при обработке растений на экспериментальном участке земли? Аналогичная проблема возникает и при распылении химикатов на больших территориях. При сравнении воздействия различных лекарственных препаратов на сельскохозяйственные культуры необходимо рассеять их на обширной площади. Однако если выбирать места применения химикатов в случайном порядке, есть риск, что раз за разом выбор будет падать на одни и те же участки. В этом случае все препараты в конце концов окажутся в одном месте и эксперимент провалится.

Допустим, мы хотим провести тестирование четырех химикатов на шестнадцати пробных участках, расположенных сеткой четыре на четыре. Как мы можем распылять препараты на территории без риска, что все они попадут в одно и то же место? В своем фундаментальном исследовании «Организация экспериментов» Фишер предложил систему распыления четырех препаратов, при которой они появляются в каждом ряду и каждой колонке только один раз.

Если экспериментальное поле имеет плодородную почву на одном участке и скудную – на другом, то все химикаты попадут и на тот и на другой тип земли. Оказалось, предложенный Фишером паттерн уже имел широкое распространение в другой области – в классической архитектуре, где был известен как «латинский квадрат».

Латинский квадрат

Провальный квадрат

На витраже в колледже Гонвилл и Гай изображен латинский квадрат большего размера, и вместо букв, обозначающих разные химикаты, его секции помечены разными цветами. Но не только старинные стены отдают дань идеям Фишера – они востребованы и в современной науке. Необходимость создать нечто случайное и сбалансированное одновременно возникает во многих областях производства, включая медицину и архитектуру. Присутствует она и в лотерее.

Лотереи предназначены для того, чтобы забирать у людей деньги. Они возникли в качестве мягкой формы налогообложения и часто применялись для поддержки крупных строительных объектов. Возведение Великой Китайской стены было оплачено из доходов от лотереи, организованной династией Хань. Доходы от лотереи, проведенной в 1753 году, пошли на финансирование Британского музея. Многие университеты Лиги плюща были построены на деньги, вырученные от лотерей, организованных колониальным правительством.

Сегодня лотереи выглядят по-разному. Наиболее прибыльной частью индустрии в наши дни стали скретч-карты. В Соединенном Королевстве они обеспечивают четверть доходов от Национальной лотереи, а государственные лотереи США зарабатывают на распространении таких карт десятки миллиардов долларов. На выплату призов уходят миллионы долларов, поэтому организаторам приходится проявлять большую осторожность: они не могут допустить, чтобы под защитной фольгой прятались случайные числа, потому что возникает риск, что выигрышей выпадет больше, чем лотерея в состоянии оплатить. В распространении скретч-карт тоже требуется известная предусмотрительность: нельзя, чтобы все счастливые билеты попали в один город. В лотерее должен присутствовать элемент случайности, чтобы игра оставалась честной, но операторы вынуждены настраивать систему так, чтобы победителей не оказалось слишком много или чтобы все они не оказались в одном месте. Или, если воспользоваться выражением статистика Уильяма Госсета, здесь нужна «контролируемая случайность».

О лотерейных закономерностях Мохан Шривастава задумался в июне 2003 года, когда друзья в шутку подарили ему целую охапку скретч-карт. На одной из них было изображение решетки с крестиками-ноликами. Шривастава стер защитный слой фольги и обнаружил три одинаковых символа в одном ряду. Он получил три доллара и повод для раздумий: как организаторы лотерей отслеживают свои призы?

Шривастава работал статистиком в Торонто и подозревал, что в каждой карточке содержится код, который показывает, является ли она выигрышной. Он интересовался взломом кодов и был знаком с Биллом Татом, британским математиком, разгадавшим в 1942 году шифр нацистского «Лоренца» и совершившим то, что позже назвали «одной из величайших интеллектуальных побед Второй мировой войны». По дороге на местную автозаправку, где его ждал заслуженный выигрыш, Шривастава размышлял о том, как осуществляется распространение лотерейных «крестиков-ноликов». У него был солидный опыт работы с подобными алгоритмами – прежде Шривастава работал консультантом в компании по добыче полезных ископаемых, и в его обязанности входило выявление месторождений золота, а еще школьником в качестве домашнего задания написал компьютерную программу для игры в крестики-нолики. Шривастава заметил, что на защитной фольге карточек пропечатана сетка из цифр размером три на три. Возможно, в них и кроется разгадка?

В тот же день Шривастава снова заехал на заправку и купил пачку скретч-карт. Изучив цифры на фольге, он обнаружил, что некоторые встречаются по нескольку раз, а другие – только однажды. Просмотрев все карточки, он пришел к выводу: если в ряду есть все три «редкие» цифры, карта чаще всего оказывается выигрышной. Система оказалась простой и удобной. Оставалось лишь найти нужные карточки.

Увы, выигрышные скретч-карты встречаются не так уж часто. К примеру, рано утром 16 апреля 2013 года в штате Кентукки машина протаранила дверь продуктового магазина. Из салона выскочила женщина, сгребла лоток с лотерейными картами (их было полторы тысячи штук) и скрылась. Когда несколько недель спустя ее арестовали, оказалось, что ей удалось выиграть всего двести долларов.

Хотя Шривастава и располагал надежным и законным методом обнаружения выигрышных карт, заработать на нем он все равно бы не смог. Выяснив, сколько времени ему придется потратить, чтобы просеять огромное количество скретч-карт в поисках «счастливых», он пришел к выводу, что бросать работу ему пока рано, но рассказать организаторам лотереи о своем открытии все-таки следует. Шривастава пытался связаться с ними по телефону, но на том конце провода, видимо, решили, что имеют дело с очередным ненормальным, одержимым сомнительной стратегией выигрыша, и не стали с ним разговаривать. Тогда статистик поделил двадцать нетронутых скретч-карт на две группы: выигрышную и проигрышную, и отправил их курьером в службу безопасности лотереи. В тот же день ему позвонили: «Нам надо поговорить».

Вскоре лотерея «крестики-нолики» исчезла с прилавков магазинов. Организаторы сослались на недосмотр разработчиков. Однако, изучая другие лотереи со скретч-картами в Канаде и США, Шривастава догадался, что у них могут быть те же проблемы.

В 2011 году, несколько месяцев спустя после того, как о Шриваставе написал журнал Wired, журналисты обнаружили в Техасе необычайно удачливого игрока в лотерею со скретч-картами. С 1993 по 2013 год Джоан Гинтер сорвала четыре джекпота на общую сумму 20 миллионов 400 тысяч долларов. Было ли тут дело только в удаче? Хотя Гинтер так и не раскрыла причину своих многочисленных выигрышей, многие подозревали, что не последнюю роль в ее достижениях сыграла докторская степень по статистике.

Скретч-карты – не единственная разновидность лотереи, которую можно обмануть при помощи научного анализа. В традиционных лотереях нет контролируемой случайности, но от игроков с математической жилкой они не защищены. Но если в системе есть брешь, успешную стратегию можно разработать даже на основании безобидной студенческой работы.

Среди известных своей оригинальностью обитателей Массачусетского технологического института общежитие «Рэндом-холл» имеет репутацию «странного места». Согласно местной легенде, в 1968 году студенты хотели назвать общежитие «Рэндом-хаус», но одноименный издательский дом прислал им письмо с возражениями. Имена здесь есть и у отдельных этажей. Один из них получил название «Дестини» – после того, как сидевшие на мели студенты выставили на eBay соответствующий лот. Выиграл покупатель, заплативший 36 долларов за право присвоить этажу имя своей дочери. У общежития есть собственный, разработанный студентами сайт, на котором можно посмотреть, свободны ли стиральные машины и душевые.

В 2005 году в коридорах «Рэндом-холла» созрел очередной смелый проект: Джеймс Харви заканчивал математический факультет, и ему необходимо было придумать тему курсовой работы последнего семестра. В процессе поиска он заинтересовался лотереями.

Лотерея штата Массачусетс была запущена в 1971 году с целью пополнения бюджета. В нее было включено несколько разных игр, наиболее популярными из которых стали Powerball и Mega-Millions. Харви решил посвятить свою курсовую их сравнительному анализу. Но вскоре проект (как это часто происходит с проектами) разросся, и Харви перешел к анализу других игр, в том числе игры Cash WinFall.

Массачусетская лотерея презентовала Cash WinFall осенью 2004 года. В отличие от Powerball и прочих, она разыгрывалась исключительно в этом штате. Правила были просты: на билете стоимостью в два доллара надо было отметить шесть чисел. Если они целиком совпадали с выигрышными, победитель получал джекпот в полмиллиона долларов; если совпадали лишь некоторые числа, то сумма выигрыша уменьшалась. 1 доллар 20 центов с каждого проданного билета шли в призовой фонд; остальное – на нужды благотворительности. По большей части WinFall походила на другие лотереи, однако у нее было одно важное отличие. Обычно, если никто не выигрывает джекпот, применяется процедура ролловера и сумма переходит в следующий розыгрыш; если победителя нет и в нем – в следующий, и так до тех пор, пока кто-нибудь не угадает все числа. Проблема заключается в том, что джекпот – отличная реклама для лотереи – выпадает очень редко. А если время от времени не публиковать в газетах фотографии улыбающихся счастливчиков, потрясающих чеком с гигантской суммой, люди перестают играть. В 2003 году Массачусетская лотерея столкнулась с этой проблемой в Mass Millions, когда главный приз не выпадал в течение целого года. Организаторы WinFall, желая избежать подобной неловкости, решили разбить джекпот. Как только призовой фонд доходил до двух миллионов долларов, а главного победителя не было, объявляли роллдаун, и деньги распределялись между игроками, угадавшими три, четыре и пять чисел. Перед каждым розыгрышем организаторы публиковали сумму ожидаемого джекпота, который рассчитывали, исходя из дохода от продаж билетов предыдущего тура. Когда эта сумма достигала двух миллионов, игроки уже знали, что, если никто не угадает шесть чисел, деньги будут поделены. Вскоре многие смекнули, что шансы обогатиться выше всего в неделю роллдауна, – и продажа билетов в эти дни резко рванула вверх.

Присмотревшись к WinFall, Харви пришел к выводу, что выиграть в ней легче, чем в других лотереях. Она давала неплохой шанс получить прибыль, ведь при условии роллдауна на каждые 2 доллара, потраченные на билет, приходилось по меньшей мере 2 доллара 30 центов призовых. В феврале 2005 года Харви собрал команду из 50 студентов МТИ. Они скинулись примерно на тысячу долларов и на все купили лотерейные билеты. После объявления победителей выяснилось, что команда выиграла втрое больше, чем вложила. В следующие несколько лет игра в лотерею стала для Харви полноценной работой. В 2010 году он со своими единомышленниками создал компанию Random Strategies Investments LLC, названную в честь общежития в МТИ, где он когда-то жил.

Вскоре к делу подключились и другие компании. Одну организовали ученые-биомедики из Бостонского университета, другую возглавил владелец магазина на пенсии, выпускник математического факультета Джеральд Силби, у которого уже был успешный опыт в подобных играх. В 2003 году Силби нашел лазейку в лотерее штата Мичиган, где тоже практиковали роллдауны. Собрав группу из 32 игроков, Силби в течение двух лет целенаправленно скупал билеты – и срывал джекпоты, – пока в 2005 году лотерея не прекратила свое существование. Прослышав про WinFall, компания Силби переключила свое внимание на Массачусетс. В том, что WinFall манила многих, не было ничего удивительного – она стала самой прибыльной лотереей в Соединенных Штатах.

Летом 2010 года WinFall в очередной раз приблизилась к роллдауну. После того как 12 августа остался невостребованным приз в 1,59 миллиона долларов, ожидаемый в следующем розыгрыше джекпот достиг суммы в 1,68 миллиона. До роллдауна явно оставалось два-три розыгрыша, и лотерейные синдикаты начали к нему готовиться. К концу месяца они планировали сорвать значительный куш.

Однако роллдаун случился не на втором и не на третьем розыгрыше, а уже на следующей неделе, 16 августа. Продажи лотерейных билетов по непонятной причине резко скакнули вверх, наполнив призовой фонд до необходимых двух миллионов и вызвав преждевременный раздел джекпота. Организаторы были изумлены не меньше игроков: еще никогда им не удавалось продать так много билетов при таком низком ожидаемом выигрыше. Что же случилось?

При запуске WinFall разработчики помнили о риске намеренной скупки билетов с целью подтолкнуть игру к роллдауну. Понимая, что продажи зависят от ожидаемого джекпота и его потенциального раздела, организаторы не хотели нести убытки, занижая сумму призовых.

Они рассчитали, что игрок, пользующийся лотерейными автоматами, выдающими билеты с произвольными числами, может разместить сто ставок в минуту. Если джекпот составляет менее 1,7 миллиона долларов, игроку, желающему довести его сумму до двух миллионов, необходимо купить более 500 тысяч билетов. На это должно уйти более 80 часов, поэтому организаторы полагали, что «накрутить» за такое короткое время джекпот невозможно.

Однако члены группы МТИ думали иначе. Джеймс Харви съездил в Брейнтри, где располагались офисы организаторов лотереи. Он хотел раздобыть копии технических документов, в которых была четко прописана процедура распределения денежных призов. Тогда его усилия не увенчались успехом, но в 2008 году организаторы все же прислали ему запрошенные бумаги. Содержащиеся там сведения стали настоящим откровением для игроков, до того полагавшихся лишь на свои расчеты.

Изучая предыдущие розыгрыши, группа обнаружила, что, если джекпот был меньше 1,6 миллиона долларов, в следующей игре денежный приз практически никогда не достигал критической отметки в два миллиона. То, что произошло 16 августа, было результатом тщательного планирования. Необходимо было дождаться подходящих условий – джекпота, чуть-чуть не доходящего до отметки в 1,6 миллиона, – а затем заполнить вручную около 700 тысяч лотерейных билетов. «Мы шли к своему успеху почти год», – рассказывал Харви. Усилия игроков окупились, и в ту неделю они выиграли 700 тысяч долларов.

К сожалению, полоса удач продолжалась недолго. В том же году газета Boston Globe опубликовала статью о лазейках в лотерее и о том, как ими пользуются синдикаты. Летом 2011 года Грегори Салливан, главный инспектор штата Массачусетс, изучил этот вопрос и составил отчет. Салливан пришел к выводу, что действия группы МТИ и других синдикатов были целиком законными и «крупные ставки не оказали влияния на шансы других игроков на выигрыш». Вместе с тем стало понятно, что кое-кто хорошо наживается на лотерее, и спустя некоторое время она прекратила свое существование.

Но даже если бы WinFall не закрыли, лотерея, как признались главному инспектору члены синдиката Бостонского университета, все равно вскоре потеряла бы интерес для бетторов. Все больше людей скупали билеты в период роллдауна, а значит, джекпот дробился на все более мелкие доли. Риск потерять деньги рос, а потенциальный выигрыш уменьшался. В условиях жесткой конкуренции росла необходимость получить преимущество над другими игроками. У группы МТИ это получилось, потому что ее участники понимали механизм игры лучше конкурентов и точнее оценивали шансы на выигрыш.

Конкуренция – не единственное препятствие для успешной игры. Не менее серьезную проблему представляет собой логистика. По словам Джеральда Силби, чтобы максимизировать прибыль во время роллдауна, группе, в соответствии с данными статистического анализа, необходимо было приобрести 312 тысяч лотерейных билетов. Процесс покупки такого количества билетов не всегда проходит гладко. Если на улице сыро, лотерейные автоматы зажевывают бумагу; если у них кончаются чернила в картридже, они и вовсе перестают их печатать. Однажды команда из МТИ столкнулась с тем, что в месте продажи билетов внезапно отключилось электричество. Некоторые магазины вообще отказывались продавать одному и тому же человеку большое количество билетов.

Еще один важный вопрос – хранение и учет купленных билетов. Синдикаты должны были держать у себя миллионы проигрышных билетов, чтобы предъявлять их налоговым инспекторам. Да и поиск билета-победителя требует затрат времени и сил. Силби утверждал, что с 2003 года, когда он занялся лотереей, ему удалось выиграть около восьми миллионов долларов. Но после каждого розыгрыша им с женой приходилось по десять часов в день перебирать лотерейные билеты, отыскивая выигрышные.

Долгое время синдикаты использовали тактику выкупа большого количества билетов с разными числовыми комбинациями, известную как «метод перебора». Один из наиболее ярких примеров его применения дал бухгалтер Стефан Клинцевич, в 1990 году разработавший план выигрыша в Ирландской национальной лотерее. Клинцевич просчитал, что, потратив чуть менее миллиона фунтов, он сможет купить столько лотерейных билетов, что составит все потенциально выигрышные комбинации и при розыгрыше гарантированно сорвет джекпот. Правда, стратегия могла сработать лишь при условии большого джекпота. В ожидании крупного ролловера Клинцевич собрал синдикат из 28 человек. За полгода игроки заполнили тысячи карточек лотереи. В мае 1992 года организаторы лотереи анонсировали розыгрыш в 1,7 миллиона фунтов, и синдикат приступил к реализации своего плана. Выбирая лотерейные терминалы в малолюдных местах, игроки принялись скупать и заполнять карточки.

Такой всплеск активности не укрылся от внимания организаторов лотереи, и они попытались остановить синдикат, отключая терминалы, которыми пользовались игроки. В результате те смогли «застолбить» только 80 % возможных комбинаций. Для гарантированного выигрыша этого было недостаточно, однако игроки все же получили значительный перевес: когда огласили результаты, у членов синдиката оказались выигрышные номера. К сожалению, были еще два победителя, и джекпот пришлось поделить, однако даже после этого прибыль от мероприятия составила 310 тысяч фунтов.

Метод перебора не требует скрупулезных вычислений. Единственной серьезной проблемой может стать доступ к необходимому количеству билетов, однако здесь мы имеем дело с человеческим фактором, а не с математикой, что снижает риск монополизации. Если игроки в рулетку стремятся перехитрить только казино, то лотерейные синдикаты сражаются за джекпот с другими похожими синдикатами.

Несмотря на возрастающую конкуренцию, некоторые лотерейные синдикаты продолжают успешно и, главное, законно получать прибыль. Их примеры демонстрируют еще одно отличие лотереи от игры в рулетку: если игроки в рулетку обычно действуют в одиночку или очень небольшой группой, то лотерейные синдикаты часто представляют собой настоящие фирмы. У них есть инвесторы, они платят налоги. Этот контраст отражает заметный сдвиг в научном подходе к азартным играм – индивидуальные потуги искателей удачи переродились в целую отрасль.

3

Из Лос-Аламоса – в Монте-Карло

Билл Бентер – один из самых успешных игроков в мире. Его базирующийся в Гонконге синдикат заработал на лошадиных скачках миллионы долларов. Но карьера Бентера началась вовсе не со скачек. И вообще не со спорта.

Студентом Бентер как-то увидел объявление в казино Атлантик-Сити: «Профессиональным счетчикам карт играть за нашими столами запрещено». Нельзя сказать, чтобы это предостережение как-то подействовало на Бентера. Скорее оно навело его на мысль о том, что подсчет карт работает. Это был конец 1970-х, и казино на протяжении последнего десятка лет боролись с приемами, которые считали жульническими. Винить в потерях, которые несли игорные дома, – или благодарить за них, зависит от точки зрения, – следовало Эдварда Торпа. В 1962 году он опубликовал книгу «Обыграй дилера», где описал успешную стратегию для блек-джека.

Торпа часто называют отцом карточных подсчетов, однако на самом деле идея идеальной стратегии для блек-джека родилась в военных казармах. За десять лет до того, как Торп издал свою книгу, рядовой Роджер Болдуин на Абердинском полигоне в штате Мэриленд играл с другими солдатами в карты. Решив сыграть в блек-джек, игроки стали обсуждать правила и сошлись на базовом варианте: дилер (банкомет) сдает каждому игроку по две карты и две карты себе – открытую и закрытую. Игрок может потребовать себе еще одну карту, чтобы набрать больше очков, чем у дилера, но если с учетом дополнительной третьей карты он наберет больше 21 очка, то проиграет и потеряет поставленные деньги.

После игроков наступает очередь дилера. По словам одного из солдат, с которыми играл Торп, в Лас-Вегасе банкомет, у которого на руках 17 и больше очков, не имеет права брать дополнительную карту. Болдуина это озадачило. Что это за правило? Раньше, когда Болдуин играл в блек-джек с друзьями, никаких ограничений на дилера правила не накладывали. У Болдуина была магистерская степень по математике, и он быстро смекнул, что его знания могут пригодиться ему в казино. Если возможности дилера строго ограничены, можно найти стратегию, которая максимизирует шансы игрока на победу.

Как и все азартные игры, блек-джек «заточен» под интересы казино. Игрок и дилер преследуют одну и ту же цель – собрать комбинацию карт с числом очков, максимально близким к 21, однако дилер находится в привилегированном положении, потому что первым карту берет игрок. Если на дополнительной карте он перебирает с числом очков, то выигрывает банкомет, даже ничего не делая.

Анализируя различные игровые ситуации, Болдуин заметил, что его шансы увеличиваются, когда при принятии решения он учитывает достоинство открытой карты дилера. Если она обладает невысоким достоинством, есть вероятность, что дилер будет добирать карты, тем самым увеличивая риск выйти за пределы 21 очка. Например, если у него на руках шестерка, вероятность его проигрыша составляет 40 %; если десятка – она вдвое меньше. Следовательно, если дилеру выпала шестерка, Болдуин может рассчитывать на выигрыш, не добирая дополнительных карт, потому что дилер, напротив, будет, скорее всего, вынужден их добирать и, возможно, переберет.

В теории Болдуин мог легко воплотить свои идеи в идеальную стратегию. Но на практике, сидя за игровым столом, добиться ее осуществления чрезвычайно трудно из-за огромного числа возможных игровых комбинаций. Кроме того, выбор игрока в казино не ограничивается решением, брать карту или не брать. У него есть возможность удвоить ставку при условии, что он к имеющимся двум картам получит еще одну, или, имея пару карт одинакового достоинства, сделает сплит – разделит одну руку на две.

Болдуин не мог выполнять все эти подсчеты вручную, поэтому попросил своего товарища, сержанта Уилберта Кенти, воспользоваться штабным калькулятором. Заинтересовавшись идеей Болдуина, сержант согласился помочь, и к нему присоединились служащие аналитического подразделения Джеймс Макдермотт и Херберт Мэйзел.

Пока Торп в Лос-Анджелесе пытался предугадать, как поведет себя рулетка, четверка военнослужащих коротала вечера за обдумыванием способов обыграть дилера. После нескольких месяцев расчетов математики разработали оптимальную, по их мнению, стратегию. Увы, «идеальная» система оказалась далекой от идеала. «Статистика говорила нам, что в долгосрочной перспективе, – позже объяснял Мэйзел, – особой надежды на крупный выигрыш нет, если нам банально не повезет». Но даже при таком раскладе преимущество казино снижалось до 0,6 %. Зато, если игрок попросту копировал действия дилера, то есть, имея на руках 17 очков и выше, не пытался набрать больше, его шансы снижались на 6 %. Четверка опубликовала результаты своих исследований в 1956 году в статье под названием «Оптимальная стратегия в блек-джеке».

Когда статья вышла, Торп как раз собирался в Лас-Вегас. Он ехал туда в отпуск с женой и собирался приятно провести время за обеденным, а не карточным столом. Однако перед самым отъездом один из профессоров Калифорнийского университета в Лос-Анджелесе рассказал ученому о системе, разработанной военными. Любознательный Торп записал основные положения стратегии и взял конспект с собой.

В один из вечеров Торп решил протестировать стратегию за карточным столом в казино. Остальные игроки, наблюдая за ним, пришли к выводу, что перед ними сумасшедший. Торп брал карту, когда делать этого не следовало, и не брал, когда явно надо было брать. Он удваивал ставку, имея на руках слабую карту. Он сделал сплит на паре жалких восьмерок, понимая, что у дилера рука намного сильнее. О чем он вообще думал?

Несмотря на, казалось бы, безрассудную стратегию, фишки у Торпа все не заканчивались. Игроки один за другим покидали стол с пустыми карманами, а Торп продолжал делать ставки. Наконец, проиграв восемь из десяти долларов, он откланялся. Этот небольшой эксперимент убедил ученого, что стратегия военных работает лучше, чем любая другая из известных ему. Но она явно нуждалась в улучшении.

Строя расчеты, Болдуин для простоты предположил, что карты в колоде распределяются бессистемно и вероятность выпадения каждой из них одинакова. Однако в реальности блек-джек не настолько хаотичен. В отличие от рулетки, в которой каждый последующий спин не зависит (или, по крайней мере, не должен зависеть) от предыдущего, блек-джек обладает своего рода памятью: по ходу игры дилер постепенно перебирает всю колоду.

Торп был убежден: если фиксировать, какие карты уже сыграли, это помогло бы предугадать выпадение следующих. Теоретически выигрышная стратегия у него уже была. Если добавить к ней информацию о достоинстве следующей карты, рассудил он, этого должно хватить, чтобы склонить игру в свою пользу. Вскоре Торп понял, что выгоду может принести даже такая простая тактика, как отслеживание в колоде десяток. Он начал отмечать, какие карты вышли, постепенно превращая идею четырех абердинских военнослужащих – позже их назовут «четыре всадника Абердина» – в выигрышную стратегию.

Торп неплохо зарабатывал на блек-джеке, но не деньги были главной целью его поездок в Лас-Вегас. Гораздо больше его интересовала наука. Первые публикации Торпа о выигрышной стратегии были встречены читателями без энтузиазма. Они смеялись над его концепцией так же, как потешались над ним игроки во время первого карточного эксперимента. Но в конце концов ученый развенчал миф о непобедимости блек-джека. Доказательством его теории стала книга «Обыграй дилера».

Суровое объявление в Атлантик-Сити не давало Биллу Бентеру покоя. О книге Торпа он узнал, будучи студентом Бристольского университета, и сразу отправился за ней в местную библиотеку. «Обыграй дилера» потрясла его до глубины души. «Эта книга доказала мне, что в любой системе можно нащупать слабое место, – вспоминал он, – и все разговоры о том, что нельзя обыграть казино, не соответствуют действительности». По возвращении в США Бентер решил сделать паузу в академических занятиях. Университетский кампус в Кливленде, штат Огайо, он променял на казино Лас-Вегаса, где попытался применить разработанную Торпом систему на практике. И не ошибся: в свои 20 с небольшим лет Бентер всего за год заработал на блек-джеке около 80 тысяч долларов.

Тогда же он познакомился с выходцем из Австралии, который также неплохо обогатился, используя подсчет карт. В отличие от Бентера, который попал в казино прямо с университетской скамьи, Алан Вудс успел окончить колледж и поступил на работу в страховую компанию на должность актуария – специалиста по страховой математике. В 1973 году австралийское правительство поручило его компании рассчитать ожидаемый доход первого в стране легального казино. Неудивительно, что Вудс заинтересовался выигрышными стратегиями в блек-джеке. Следующие несколько лет он на каждый уик-энд отправлялся в очередное казино и таким образом объездил чуть ли не весь мир. К моменту встречи с Бентером блек-джек стал основным родом его занятий. Но вскоре для удачливых игроков наступили трудные времена.

После того как Торп опубликовал результаты своих исследований, казино начали вылавливать счетчиков. Одна из главных сложностей в подсчете карт – помимо необходимых умственных усилий – заключается в том, что собрать достаточно информации для прогнозов игрок может лишь после того, как увидит большое количество выпавших карт. Пока вы наблюдаете, у вас нет другого выбора, кроме как следовать оптимальной стратегии Болдуина и делать небольшие ставки, снижая риск проигрыша. Когда вы наконец решите, что следующая карта принесет вам удачу, надо резко увеличить ставку, чтобы получить максимальную выгоду. Увидев это, любой сотрудник службы безопасности казино немедленно поймет, что за столом находится счетчик. «Научиться считать карты легко, – заметил как-то один из профессиональных игроков в блек-джек, – трудно научиться считать их так, чтобы тебя не застукали».

Держать в уме достоинство выпадающих во время игры карт не являлось в Неваде (как и, собственно говоря, в остальном мире) противозаконным, что отнюдь не означало, что Лас-Вегас встретит Торпа и его стратегию с распростертыми объятиями. Поскольку казино – это частные компании, они имеют право пускать или не пускать к себе кого заблагорассудится. Торп, желая избежать изгнания, начал менять внешность. Другие картежники, спасаясь от преследования службы безопасности, попытались найти альтернативные способы побеждать в блек-джеке. Что, если не считать карты в ожидании благоприятного расклада, а спрогнозировать их расположение в колоде?

В начале ХХ века большинство математиков были знакомы с работами Пуанкаре по теории вероятности, однако в полной мере осмыслить их были способны немногие. Одним из тех, кто понял идеи Пуанкаре, стал профессор Парижского университета Эмиль Борель. Особенно его заинтересовала аналогия, при помощи которой Пуанкаре описал, как случайные взаимодействия – как в случае с краской в воде – в конечном счете приводят к состоянию равновесия.

Пуанкаре сравнил этот процесс с тасованием колоды карт. Если вы знаете изначальное расположение карт в колоде, то, наугад поменяв местами некоторые из них, вы не внесете в колоду большого беспорядка и ваше знание останется достаточно полным. Чем больше карт вы меняете местами, тем менее релевантным становится знание об изначальном расположении карт. Так же как молекулы краски спустя определенное время перемешиваются с молекулами воды, карты при тасовании мало-помалу распределяются так, что каждая имеет равный шанс появиться в любом месте колоды.

Вдохновленный работами Пуанкаре, Борель нашел способ просчитать, насколько быстро карты достигнут равномерного распределения. Этот алгоритм и по сей день используется при расчетах «времени перемешивания» в хаотических процессах, будь то тасование карт или взаимодействие химических веществ. А игрокам в блек-джек работа Бореля помогла решить одну важную проблему.

Чтобы усложнить жизнь счетчикам карт, устроители казино начали использовать несколько колод, иногда числом до шести, тщательно тасуя их перед игрой. Таким образом они надеялись усложнить процесс подсчета и лишить игроков преимущества. Однако они не учли, что подобное нововведение не лучшим образом скажется на качестве перетасовки карт.

Шаффл «ласточкин хвост». Фото предоставлено Todd Classy

В 1970-х в казино получил распространение способ тасования (на карточном жаргоне – шаффл) под названием «ласточкин хвост». Для его выполнения колода делится на две части, а затем одна половина карт врезается в другую. Если шаффл выполнен идеально и карты из обеих частей строго чередуются, информацию о расстановке карт в колоде восстановить легко: для этого достаточно проследить за каждой второй картой. Расстановку можно до известной степени воссоздать, даже если карты из каждой половины колоды будут браться случайным образом.

Допустим, у вас есть колода из тринадцати карт. Если вы делаете «ласточкин хвост», карты могут лечь следующим образом:

Карты в такой колоде расположены вовсе не хаотически. Мы видим здесь две хорошо выраженные последовательности возрастающих чисел (показаны обычным и жирным шрифтом). На этом шаффле основано несколько карточных фокусов: если поместить любую карту в упорядоченную колоду и перетасовать колоду один или два раза, узнать эту карту не составит труда, так как она будет выбиваться из восходящей последовательности.

Как показали расчеты математиков, дилер, чтобы ликвидировать следы легко считываемой последовательности, должен перетасовать колоду из 52 карт по меньшей мере шесть раз. Тем не менее, по наблюдениям Бентера, казино не всегда проявляли такую добросовестность: многие дилеры тасовали колоду два-три раза, а некоторые довольствовались и одним.

В начале 1980-х игроки начали использовать для наблюдения за колодой скрытые компьютеры. Информацию в них можно было вводить с помощью переключателя, и при возникновении благоприятной ситуации в устройстве возникала вибрация. Количество используемых колод значения уже не имело. Устройства позволяли не привлекать внимание службы безопасности казино: если компьютер подсказывал, что хорошие карты появятся на следующей руке, игрокам не было необходимости резко поднимать ставки. К несчастью для них, эта система просуществовала недолго: с 1986 года использование компьютеров в американских казино было объявлено вне закона.

Но у Вудса и Бентера проблем хватало и без ограничений на использование техники. Как и Торпу, все казино мира в конце концов отказали им в доступе. «Как только становишься известным, – замечал Бентер, – мир становится очень маленьким». Убедившись, что казино больше не разрешат им играть, Вудс и Бентер ушли из блек-джека. Но покидать игровую индустрию они не собирались. Партнеры планировали заняться куда более серьезными играми.

В среду вечером на ипподроме «Хеппи-Вэлли» не протолкнуться от народа. Окруженная небоскребами Гонконга территория, еще недавно бывшая болотом, теперь вмещает более 30 тысяч зрителей. Крики и гул толпы заглушают рев автомобилей из соседнего округа Ваньчай. Шум и толкотня не случайны: здесь крутятся большие деньги. Азартные игры занимают в жизни обитателей района Хеппи-Вэлли не последнее место: в 2012 году в день скачек общая сумма ставок достигла 145 миллионов долларов. Для сравнения: аналогичный показатель того же года на дерби в Кентукки составил 133 миллиона, и это был американский рекорд.

Ипподромом «Хеппи-Вэлли» управляет Жокейский клуб Гонконга, который каждую субботу организует также забеги на ипподроме Ша Тин, расположенном на другом берегу бухты Коулун. Жокейский клуб – некоммерческая организация с хорошей репутацией, и игроки могут не сомневаться, что все забеги проходят честно.

В Гонконге игроки делают ставки по так называемой системе «пари мютюэль». Ставки размещают у букмекера не по фиксированному коэффициенту; деньги игроков формируют общий пул, и коэффициент зависит от того, какая сумма поставлена на каждую лошадь. Представим, к примеру, что в забеге принимают участие две лошади: на первую поставлено в общей сумме 200 долларов, на вторую – 300. Эти деньги составляют общий пул ставок. Организаторы игр вычитают свою долю – в Гонконге она составляет 19 %, то есть при сумме 500 долларов в общей кассе остается 405. Затем организаторы высчитывают коэффициент для каждой лошади – сумму, которую получит выигравший игрок на каждый поставленный доллар, поделив общую сумму ставок (405 долларов) на сумму ставок на конкретную лошадь.

Примерное табло тотализатора

Предложенная парижским предпринимателем Жозефом Оллером – основателем кабаре «Мулен Руж» – система пари мютюэль требует постоянных перерасчетов для коррекции коэффициентов. С 1913 года, когда появился «автоматический тотализатор», более известный как табло тотализатора, вести подобные расчеты стало проще. Его изобретателем считается австралиец Джордж Джулиус. Изначально он планировал сконструировать автомат для подсчета голосов на выборах, но австралийское правительство не заинтересовалось его разработками. Джулиус не впал в уныние, внес в устройство необходимые изменения и продал его ипподрому в Новой Зеландии.

В тотализаторе зрители фактически делают ставки друг против друга. Организаторы забегов получают свою долю независимо от исхода скачек. Коэффициент ставки зависит от того, какая лошадь, по мнению игроков, имеет больше шансов на победу. «Счастливую» лошадь вычисляют по разным признакам. Игроки ставят на животное, удачно выступившее в предыдущих забегах и на прошлых скачках, лучше других выглядевшее на тренировке, показывающее хорошие результаты при определенной погоде. Решающую роль может сыграть репутация жокея, а иногда даже вес и возраст лошади.

Если в тотализаторе принимает участие достаточно много народу, то «правильный» коэффициент лошади должен отражать ее реальные шансы на победу. Иными словами, тотализатор – достаточно эффективная система, позволяющая собрать воедино разрозненную информацию о каждой лошади, не давая явного преимущества ни одному игроку. По крайней мере, этого мы ожидаем. На деле это не так.

Если коэффициент лошади на табло тотализатора равен 100, это значит, что ее шансы на выигрыш составляют 1 %. При этом игроки часто проявляют излишнюю щедрость, оценивая шансы на победу слабой лошади. Статистики сравнили суммы, которые игроки ставили на лошадей с малыми шансами на победу, с суммами, которые эти лошади приносили в случае победы, и пришли к выводу, что ее вероятность значительно меньше, чем сулит коэффициент. И наоборот: игроки склонны недооценивать перспективы лошади-победителя.

Так называемый эффект предвзятости при оценке фаворитов и аутсайдеров часто приводит к тому, что лошади, входящие в топ-список, имеют больше шансов на победу, чем можно судить по коэффициентам. Тем не менее ставки только на этих лошадей не всегда являются успешной стратегией. Поскольку ипподром имеет в тотализаторе свою долю, игроки вынуждены считаться с большим гандикапом. Если счетчикам карт, чтобы выйти в плюс, достаточно усовершенствовать метод «четырех всадников», в спортивном тотализаторе бетторам необходима стратегия, которая будет прибыльной, даже когда букмекеры забирают себе 19 %.

Эффект предвзятости при оценке фаворитов и аутсайдеров – явление хоть и заметное, но далеко не катастрофическое по масштабу. И он не отличается однородностью, сильнее давая о себе знать на одних ипподромах и слабее – на других. Однако можно с уверенностью сказать, что коэффициенты на скачках не всегда объективно отражают шансы лошади на победу. Как и в случае с блек-джеком, ипподром «Хеппи-Вэлли» не был надежно защищен от хитрых игроков. А в 1980-х стало очевидным, что кое-кому эта уязвимость может приносить громадный доход.

Гонконг был не первым местом, где Вудс опробовал свою беттинговую систему на скачках. Весь 1982 год он провел в Новой Зеландии в компании профессиональных игроков, пытаясь при помощи коллективного разума вычислять участников забега с некорректными коэффициентами. К сожалению, результаты не всегда были успешными.

Бентер был неплохо подкован в физике и интересовался компьютерными технологиями, поэтому на «Хеппи-Вэлли» они с Вудсом попробовали применить научный подход. Но выигрыш в блек-джеке и выигрыш на ипподроме требуют решения совершенно разных задач. Да и возможно ли в принципе предсказать результат лошадиных скачек?

Ответ нашелся в библиотеке Невадского университета. В свежем номере одного делового журнала Бентер нашел статью Рут Болтон и Рэндалла Чэпмена – ученых из Университета Альберты в Канаде. Двадцатистраничный материал назывался «Положительная доходность на скачках», но суть своей идеи авторы раскрывали уже в первом абзаце. «Если, играя в тотализатор, публика совершает систематические и распознаваемые ошибки, – утверждали Болтон и Чэпмен, – из этой ситуации можно извлечь выгоду, разработав превосходящую стратегию ставок». Более ранние стратегии основывались на хорошо известных отклонениях в распределении в коэффициентах ставок, таких как эффект предвзятости при оценке фаворитов и аутсайдеров. Болтон и Чэпмен пошли по другому пути. Они решили, собрав доступную информацию обо всех участниках забега – например, процентное соотношение выигрышей и проигрышей, среднюю скорость каждой лошади и так далее, – конвертировать их в оценку вероятности ее выигрыша. «Эта статья положила начало многомиллиардной индустрии», – вспоминал Бентер. Итак, в чем же заключался секрет?

Спустя два года после окончания своих изысканий в Монте-Карло Карл Пирсон познакомился с джентльменом по имени Фрэнсис Гальтон. Приходясь кузеном Чарльзу Дарвину, Гальтон разделял семейную страсть к науке, приключениям и бакенбардам. Однако, как вскоре заметил Пирсон, кое в чем он сильно отличался от своего знаменитого родственника.

Разрабатывая теорию эволюции, Дарвин потратил немало времени на определение содержания новой научной области, и многие из предложенных им терминов и направлений исследования до сих пор не потеряли своей актуальности. Но если Дарвин был архитектором, то Гальтон – разведчиком. Как и Пуанкаре, он любил выдвинуть свежую идею, но вскоре увлекался совсем другой. «Он никогда не оглядывался на тех, кто шел за ним, – вспоминал Пирсон. – Он указывал новые пути биологам, антропологам, психологам, метеорологам и экономистам, предоставляя им самим решать, стоит по ним идти или нет».

Интересовался Гальтон и статистикой. В ней он видел ключ к пониманию биологических процессов наследования – этот предмет интересовал его на протяжении многих лет. Гальтон привлекал к своим исследованиям людей, порой далеких от науки. В 1875 году он вручил семерым своим друзьям семена душистого горошка с просьбой вырастить из них растения, собрать с них семена и вернуть ему. Одни получили тяжелые семена, другие – легкие. Гальтон хотел знать, как вес семян-родителей влияет на вес семян в потомстве.

Сравнивая полученные результаты, Гальтон заметил, что потомки «больших родителей» меньше их по размеру, а потомки «маленьких родителей» – больше. Гальтон назвал это явление «регрессией к среднему». Вскоре он заметил ту же закономерность у людей, рассматривая соотношение роста родителей и детей.

Конечно, внешность ребенка – результат воздействия многих факторов. Некоторые из них изучены, другие – нет. Гальтон понимал, что в точности проследить роль каждого фактора невозможно, но при помощи регрессионного анализа он надеялся выяснить, какие факторы имеют большее значение, чем другие. Например, он заметил, что, хотя родительские признаки играют очень важную роль, некоторые черты могут «перескакивать» через поколение, переходя к детям от бабушек и дедушек и даже прабабушек и прадедушек. Гальтон полагал, что каждый предок вносит в наследственные признаки ребенка свою долю, и очень обрадовался, когда коннозаводчик из Питтсбурга, штат Массачусетс, опубликовал таблицу, иллюстрирующую процесс, который Гальтон пытался описать. Коневод А. Дж. Местон представил ребенка в виде квадрата, разделенного на меньшие квадраты, чтобы схематично изобразить вклад каждого предка: чем больше квадрат, тем больше вклад. Родители занимают половину площади квадрата, бабушки и дедушки – четверть, прадеды – одну восьмую часть и так далее.

Эта таблица произвела на Гальтона столь сильное впечатление, что в январе 1898 года он предложил журналу Nature ее напечатать.

Ученый долго размышлял над тем, как различные факторы влияют на такие признаки, как, например, рост ребенка, и кропотливо собирал данные для своих исследований. К сожалению, ограниченные познания в математике не позволили ему в полной мере использовать накопленную информацию. На момент встречи с Пирсоном Гальтон не знал, как точно рассчитать степень изменения того или иного фактора, способную повлиять на конечный результат.

Схема наследования по Местону

Гальтон сформулировал свою теорию в самых общих чертах, но строгий вид ей с опорой на математические расчеты придал Пирсон. Вскоре они попытались применить свои идеи к решению вопросов наследования. Оба видели в регрессии к среднему потенциальную проблему: как общество может быть уверено, что признаки, свойственные «высшей» расе, не будут утеряны последующими поколениями? По мнению Пирсона, нация могла улучшать свои характеристики «за счет постоянного пополнения высококачественного материала».

С сегодняшней точки зрения, Пирсон противоречил сам себе. В отличие от многих современников, он выступал за признание социального и интеллектуального равенства женщин и мужчин, но в то же время использовал статистические методы для доказательства превосходства одних рас над другими. Он выступал против законов, ограничивающих детский труд, утверждая, что дети не должны служить обществу обузой. Сегодня подобные идеи звучат более чем сомнительно. Тем не менее работы Пирсона имели огромное влияние. Вскоре после смерти Гальтона в 1911 году Пирсон создал первый в мире факультет статистики в Университетском колледже Лондона. Опираясь на таблицу, которую Гальтон в свое время отправил в Nature, Пирсон разработал метод «множественной регрессии»: рассматривая несколько потенциально влиятельных факторов, он установил, каким образом каждый из них воздействует на заданный результат.

Теория регрессии легла и в основу работ исследователей из Университета Альберты. Но если Гальтон и Пирсон использовали ее для изучения наследственных признаков у детей, то Болтон и Чэпмен попытались найти ей применение в оценке разных факторов, влияющих на шансы лошади на ипподроме. Что важнее: ее вес или процент выигранных забегов? Существует ли зависимость между скоростью лошади и репутацией жокея?

Болтон впервые столкнулась с миром азартных игр еще в юном возрасте. «Я была совсем маленькой, – вспоминала она, – когда отец взял меня с собой на скачки. Очевидно, моя детская ручка безошибочно указала будущего победителя». Но, несмотря на неожиданный успех, больше на ипподром родители ее не водили. Лишь спустя 20 лет Болтон вернулась на скачки, но теперь стремилась угадать победителей при помощи более рационального метода.

Впервые мысль о методике прогнозирования исхода скачек пришла ей в голову в 1970-х, когда Болтон была студенткой Университета Куинс в Канаде. Болтон интересовало моделирование выбора – область экономики, которая исследует, как меняются прибыли и издержки в зависимости от принятия того или иного решения. Дипломную работу Болтон писала в соавторстве с Чэпменом, который тоже занимался этой проблемой. Чэпмен давно интересовался играми и собрал большой массив данных о результатах забегов. Студенты поставили перед собой задачу выяснить, как можно использовать такого рода информацию в прогнозировании. Проект положил начало не только научному сотрудничеству – в 1981 году Болтон и Чэпмен поженились.

Спустя два года после свадьбы они отправили статью о проведенных исследованиях в журнал Management Science. Изучение методов прогнозирования набирало тогда популярность, и редакция журнала отнеслась к статье очень внимательно. «Ее показали сразу нескольким рецензентам», – вспоминала Болтон. Статья прошла четыре уровня проверки, прежде чем летом 1986 года была опубликована.

Болтон и Чэпмен предположили, что шансы конкретной лошади на выигрыш зависят от ее квалификации, для определения которой они сопоставляли ряд факторов, например, таких как стартовая позиция. Чем меньше был номер, под которым выступала лошадь, тем ближе к внутренней части беговой дорожки она стартовала, что увеличивало ее шансы на победу, так как ей приходилось преодолевать меньшее расстояние. Основываясь на методике регрессионного анализа, исследователи предположили, что увеличение стартового номера приведет к снижению квалификации.

Другой фактор – вес лошади. Здесь связь с квалификацией менее очевидна: в некоторых соревнованиях действуют весовые ограничения, не позволяющие выступать «тяжелым» лошадям, хотя у быстрых лошадей вес часто бывает выше среднего. Завсегдатаи скачек могли не согласиться с этим утверждением, однако Болтон и Чэпмена их мнение не интересовало: они просто положились на регрессионный анализ и искали зависимость между весом и квалификацией.

Согласно модели, разработанной Болтон и Чэпменом, квалификация зависит от девяти возможных факторов, включая вес, среднюю скорость на последних забегах и стартовую позицию. Проще всего было бы показать, как те или иные факторы влияют на квалификацию лошади, при помощи таблицы, наподобие предложенной Гальтоном журналу Nature. Однако в реальной жизни все сложнее. Таблица Гальтона демонстрирует влияние родственников на характерные черты ребенка, однако не дает полной картины, так как у человека не все черты – наследственные. Свое воздействие на него оказывают факторы, связанные с окружающей средой, в том числе скрытые. Более того, у аккуратных квадратиков с надписями «мать», «отец» и другими на самом деле не такие уж четкие границы – если у отца ребенка есть какие-то черты, они могут быть также у его бабушки с дедушкой. Таким образом, мы не можем сказать, что каждый значимый фактор полностью независим от остальных. То же самое относится к лошадиным скачкам. Наряду с девятью факторами, влияющими на выступление лошади, Болтон и Чэпмен учитывали фактор неопределенности, иначе говоря, всевозможные сюрпризы, то есть неожиданные события, которые могут произойти во время забега.

Научившись измерять квалификацию лошади, исследователи конвертировали полученные данные в прогноз на победу каждой лошади. Они рассчитывали суммарную квалификацию лошадей в забеге и определяли вероятность победы конкретной лошади в зависимости от ее вклада в общий показатель.

Чтобы понять, какие факторы можно использовать для прогнозов, Болтон и Чэпмен применили свою модель к результатам двух сотен забегов. Обработка информации стала поистине актом героизма, потому что данные хранились на десятках компьютерных перфокарт. «Это была огромная коробка, – рассказывала Болтон, – и я годами таскала ее с собой». Перенос данных на компьютер тоже был непростой задачей: на ввод информации по одному забегу уходило около часа.

Из девяти факторов, протестированных Болтон и Чэпменом, наиболее важной для принятия решения о ставке оказалась средняя скорость. А вот вес животного, судя по всему, не играл никакой роли. Либо этот фактор был нерелевантным, либо перекрывался другим, более значимым фактором, так же как фактор воздействия дедушки на внешность внука перекрывается влиянием отцовских генов.

То, какие факторы оказались самыми важными, удивило даже самих исследователей. В ранней версии модели Билла Бентера отмечалось существенное влияние на размер ставки количества предыдущих забегов, в которых участвовала лошадь. Внятного объяснения, почему этот фактор столь значим, не было. Некоторые игроки ссылались на то, что каждый раз имел место «особый случай», но Бентер избегал спекуляций подобного рода. Он знал, что разные факторы могут накладываться друг на друга. Вместо того чтобы анализировать значение каждого из них, он сосредоточился на разработке модели, которая воспроизводила бы результат реального, задокументированного забега. Так же как игроки, выискивавшие рулетку с дефектом, он надеялся получить действенный инструмент прогнозирования без скрупулезного разбора факторов, лежащих в его основе.

Знать, как каждый отдельный фактор влияет на результат, важно не только в тотализаторе. Пока Гальтон и Пирсон изучали механизм наследования, пивоварня «Гиннесс» работала над увеличением срока годности своего стаута. Эту задачу поручили Уильяму Госсету – талантливому молодому статистику, зимой 1906 года прошедшему стажировку в лаборатории Пирсона.

Если игровые синдикаты не имели возможности повлиять на такие факторы, как, например, вес лошади, то «Гиннессу» ничто не мешало изменить состав пива. В 1908 году Госсет при помощи метода регрессии рассчитал количество хмеля, непосредственно влияющее на срок годности пива. Пиво без добавления хмеля могло храниться 12–17 дней, с добавлением оптимального количества хмеля – до нескольких недель.

Бетторы не слишком интересуются тем, какие факторы влияют на результат игры, – им гораздо важнее знать, насколько верны их предсказания. Казалось бы, проще всего проверить эффективность системы прогнозирования по итогам уже состоявшихся забегов. Но здесь возникают свои сложности.

Во время Второй мировой войны будущий исследователь теории хаоса Эдвард Лоренц работал в метеослужбе Воздушного корпуса армии США в Тихоокеанском регионе. Осенью 1944 года его команда выдала серию идеально точных прогнозов о погодных условиях для полетов между Сибирью и островом Гуам. Во всяком случае, по сообщениям летчиков, совершавших рейсы в указанных областях, прогнозы оправдались на все 100 %. Вскоре Лоренц выяснил истинную причину столь невероятной точности: поглощенные выполнением других задач, пилоты вообще не вели наблюдение за погодой и просто повторяли прогноз метеослужбы.

Та же проблема возникает, когда игровые синдикаты проверяют свои прогнозы при помощи данных, которые использовались для калибровки системы. Создать видимость идеальной модели легко. Достаточно выделить для каждого забега некий показатель, характеризующий победителя, а затем обобщить эти показатели в полном соответствии с данными выигравших лошадей. Вам кажется, что вы создали безупречную модель, но на самом деле вы лишь подогнали свой прогноз под заранее известные результаты.

Если игроки хотят узнать, сработают ли их стратегии в будущем, они должны проверять их на свежих данных. Поэтому синдикаты, собирая информацию о состоявшихся забегах, игнорируют часть результатов, строят систему прогнозов на оставшихся, а затем тестируют ее на прежде не использовавшихся данных. Это позволяет проверить, как модель ведет себя в реальных условиях.

Тестирование на свежих данных помогает убедиться, что модель удовлетворяет научному принципу «бритвы Оккама», суть которого состоит в следующем: если перед вами стоит выбор между несколькими объяснениями наблюдаемого события, лучше всего взять самое простое. Другими словами, если вы хотите построить модель реального процесса, вы должны отсечь от нее все, чему нет объяснения.

Проверка прогнозов на свежих данных позволяет бетторам не перегружать модель информацией, но этого мало: необходимо также определить степень ее точности. Это можно сделать при помощи статистического показателя под названием коэффициент детерминации. Коэффициент может иметь величину от 0 до 1 и применяется для измерения аналитического потенциала регрессионной модели. Показатель «0» говорит о том, что модель не работает вообще (игроки могли бы с тем же успехом выбирать победителя наугад); показатель «1» означает, что прогнозы точно совпадают с полученными результатами. Модель Болтон и Чэпмена имела показатель 0,09. Это было, конечно, лучше, чем выбор лошади наугад, однако множество факторов все же остались за рамками модели.

Ряд трудностей возник и с самими данными, которые использовали исследователи. Информация о 200 забегах поступала к ним с пяти американских ипподромов и содержала массу скрытых факторов: менялись условия скачек, у лошадей менялись соперники и жокеи. Будь у Болтон и Чэпмена больше данных, эту проблему можно было бы решить, но они располагали весьма ограниченной информацией – две сотни заездов, и все. Впрочем, в менее изменчивых условиях их система потенциально могла работать.

Если вы ищете экспериментальную площадку для изучения лошадиных скачек, Гонконг – это то, что вам нужно. Забеги здесь проводятся на одной-двух дорожках, так что комфортные лабораторные условия вам обеспечены. Объект вашего исследования также будет относительно стабилен: в США по всей стране соревнуются десятки тысяч лошадей, тогда как в Гонконге существует закрытый пул примерно из тысячи животных. В год проводится не более 600 соревнований, и одни и те же лошади соревнуются друг с другом снова и снова, а значит, вы сможете наблюдать похожие события по нескольку раз, к чему всегда стремился Пирсон. В Гонконге, в отличие от Монте-Карло с его лентяями-журналистами, достаточно доступной информации о лошадях и результатах их выступлений.

Начав анализировать гонконгские данные, Бентер понял, что для прогноза надо проанализировать от 500 до 1000 забегов. Если взять меньше, не удастся учесть влияние на итог разных факторов, и модель будет нерелевантной. С другой стороны, дальнейшее расширение выборки не скажется на улучшении прогноза.

В 1994 году Бентер опубликовал статью с изложением своей базовой модели ставок. Он включил в статью таблицу, в которой сопоставил свои прогнозы с исходом реальных скачек. Его результаты выглядели впечатляюще. Модель, за исключением нескольких мелких недочетов, казалась на редкость реалистичной. Тем не менее Бентер предупредил, что у нее есть один существенный недостаток: если кто-то попытается сделать ставку на основании его прогноза, результаты могут оказаться катастрофическими.

Предположим, на вас нежданно-негаданно свалилось богатое наследство, и вы решили потратить деньги на приобретение книжного магазина. С чего вам начать? Можно составить список магазинов, которые вы хотели бы купить, посетить каждый из них – посмотреть ассортимент, пообщаться с сотрудниками, провести аудит. А можно обойтись без всех этих сложностей и просто сесть у дверей магазина и подсчитать, сколько посетителей в него входит и сколько из них выходит с покупкой. Эти две противоположные стратегии отражают два основных способа инвестирования. Если вы досконально изучаете состояние компании, это значит, что вы проводите фундаментальный анализ; если вы наблюдаете, как компанию оценивают другие, значит, вы проводите технический анализ.

В прогнозах Болтон и Чэпмена был использован фундаментальный анализ. Этот метод основан на владении качественной информацией и максимально тщательной ее обработке. Мнения и взгляды знатоков скачек в анализе не учитываются. Здесь не имеет значения, как поступают другие игроки и на каких лошадей они ставят. Фундаментальный анализ игнорирует рынок азартных игр. С тем же успехом можно делать прогнозы в вакууме.

Предсказывать результат скачек из вакуума можно, но делать ставки – нет. Если синдикаты хотят заработать на ипподроме, они должны перехитрить других игроков. И тут фундаментального анализа мало. Бентер сравнил прогнозы, полученные при помощи фундаментального анализа, со ставками обычных игроков, и заметил кое-что, что его встревожило. Бентер искал оверлеи – лошадей, имевших, согласно его расчетам, больший шанс на выигрыш, чем тот, что подразумевают сделанные на них ставки. Именно на таких лошадей он ставил бы, если бы надеялся переиграть других бетторов. Но, ознакомившись с результатами забегов, Бентер обнаружил, что лошади в ситуации оверлея приходили к финишу первыми не так часто, как согласно его выкладкам должны были. Иначе говоря, их истинные шансы на выигрыш лежали где-то в промежутке между вероятностью, которую давала модель Бентера, и вероятностью, которая вытекала из сделанных ставок. В фундаментальном подходе определенно зиял пробел.

Даже если у группы бетторов есть своя система, не стоит игнорировать и мнение публики о шансах лошадей на выигрыш (его нетрудно увидеть на табло тотализатора), так как не все игроки делают ставки, основываясь лишь на информации из открытых источников. Кто-то может знать подробности стратегии, выбранной жокеем для забега, или обладать сведениями о режиме питания и тренировок лошади. Когда игрок пытается капитализировать эксклюзивную информацию, его действия влияют на ситуацию на табло.

Разумным решением было бы комбинировать два доступных источника экспертной информации – собственные расчеты и мнения других игроков, то есть коэффициенты ставок на тотализаторе. Именно такой подход выбрал Бентер. Изначально его система игнорирует ставки, сделанные другими игроками, – на первой стадии прогноз строится так, будто тотализатора вообще не существует. Но затем этот прогноз объединяется с мнениями других игроков. Шансы лошади на победу находятся между вероятностью, диктуемой моделью, и вероятностью, вытекающей из сделанных ставок. Весы могут крениться в ту или в другую сторону, в зависимости от того, какой прогноз окажется ближе к реальному результату. Стоит найти золотую середину – и удачный прогноз обернется денежным выигрышем.

Успех к Вудсу и Бентеру в Гонконге пришел не сразу. Первый год Бентер потратил на разработку статистической модели; Вудс в это время пытался заработать на эффекте предвзятости при оценке фаворитов и аутсайдеров. Игроки прибыли в Азию с капиталом в 150 тысяч долларов и за два года потеряли все. Потенциальных инвесторов их стратегия не заинтересовала. «Люди настолько не верили в систему, что не вложились бы в нее, даже пообещай мы им сто процентов дохода», – рассказывал Вудс.

В 1986 году дела пошли на поправку: модель Бентера, состоявшая из сотен тысяч строк программного кода, была готова к запуску. Вудс и Бентер собрали достаточно информации о результатах скачек, чтобы генерировать качественные прогнозы. За год, делая ставки согласно системе, они заработали 100 тысяч долларов.

Однако после первого успешного сезона у партнеров появились разногласия, и их сотрудничество прекратилось. В скором времени Вудс и Бентер сформировали конкурирующие синдикаты и принялись играть в Гонконге друг против друга. Позже Вудс признал, что у команды Бентера модель была лучше, но в последующие несколько лет обе группы сумели существенно увеличить прибыль.

В настоящее время в Гонконге действует несколько синдикатов, применяющих для вычисления результатов забега математические модели. Но просто угадать победителя сегодня недостаточно, так как это не приносит большой прибыли, и синдикаты предлагают более сложные ставки – например, на трех первых лошадей, которые придут к финишу в определенном порядке (так называемый «тройной экспресс» или трифекта). Кроме того, есть «три тройки» – ставка, предполагающая угадывание трех трифект подряд. Эти экзотические ставки могут принести огромный выигрыш, но и поле допустимой ошибки у игрока существенно снижается.

Один из недостатков оригинальной модели Болтон и Чэпмена заключается в том, что она рассматривает всех лошадей как в равной степени предсказуемых. Это предположение облегчает расчеты, но грешит против реальности. Для примера представим себе двух лошадей. Первая – образец надежности, она всегда приходит к финишу, показывая одно и то же время. Вторая лошадь непредсказуема, иногда она приходит гораздо раньше первой, иногда – сильно от нее отстает. В среднем обе лошади прибывают к финишу за одинаковое время. Если соревнуются только эти две лошади, шансы у них равны, и угадывать победителя – все равно что подбрасывать монету. Но что делать, если в соревнованиях принимает участие несколько лошадей с разным «уровнем надежности»? Если команда игроков хочет определить трех фаворитов, которые последовательно придут первыми к финишу, им необходимо учитывать все различия в предсказуемости между участниками забега. Долгие годы определить это не удавалось даже в лучших моделях прогнозирования лошадиных скачек. В последнее десятилетие, однако, синдикаты нашли способ справиться с проблемой. И произошло это не только благодаря развитию компьютерных технологий. Игрокам помогла одна старая теория, первоначально выдвинутая группой математиков, работавших над созданием водородной бомбы.

Январским вечером 1946 года Станислав Улам отправился спать с ужасной головной болью. На следующий день, проснувшись, он не мог говорить, и его срочно направили в больницу Лос-Анджелеса, и хирурги сделали ему операцию по вскрытию черепной коробки. Обнаружилось, что у Улама воспаление оболочек мозга, вызванное инфекционным заболеванием. Больному ввели пенициллин.

Улам родился в Польше, но в 1939 году, буквально за несколько недель до вторжения нацистов, был вынужден покинуть Европу и перебраться в США. Математик по образованию, в военное время он работал над проектом атомной бомбы в Лос-Аламосской национальной лаборатории, а затем преподавал математику в Калифорнийском университете в Лос-Анджелесе. Нельзя сказать, что это был его сознательный выбор: после войны пронесся слух, что лабораторию в Лос-Аламосе закроют, и Улам разослал свои документы в несколько престижных университетов, но не получил ни одного приглашения.

К середине весны 1946 года Улам полностью оправился от болезни. Время, проведенное в госпитале, не прошло для него даром: по зрелом размышлении он решил вернуться в лабораторию в Лос-Аламосе, которую никто и не думал закрывать – напротив, правительство выделило ей деньги на создание водородной «супербомбы». Улам присоединился к проекту, когда перед разработчиками стоял целый ряд вопросов. В частности, исследователи бились над проблемой прогнозирования цепной реакции в процессе детонации. Для этого требовалось вычислить частоту столкновения нейтронов и выяснить количество выделяемой бомбой энергии. К разочарованию Улама, при помощи обычных математических формул процесс не поддавался расчету.

В отличие от своих коллег-математиков Улам не относился к числу любителей проводить долгие часы за письменным столом. Коллега Улама как-то застал его за решением квадратного уравнения: «Наморщив от напряжения лоб, он своим мелким почерком строчил на доске формулы. Получив наконец ответ, он обернулся и с облегчением сказал: „Думаю, на сегодня я свое отработал“».

Ученый предпочитал генерировать новые идеи, а их реализацию оставлял другим. Находчивость он проявлял не только при решении математических головоломок. Зимой 1943 года Улам, работавший тогда в Висконсинском университете, заметил, что несколько его коллег перестали появляться на работе. Вскоре он получил письмо с приглашением присоединиться к некоему проекту в Нью-Мехико, однако никаких подробностей не сообщалось. Заинтригованный, Улам отправился в университетскую библиотеку – поискать информацию о Нью-Мехико. Он нашел всего одну книгу об этом штате. Улам проверил, кто брал издание до него, – и понял, куда пропали все его друзья. Зная об их научных интересах, он догадался, над чем они работают в пустыне.